ROC démonstration proba



  • bonjour à tous
    j'ai un dm a faire sur une restitution organisé de connaissances mais je n'ai pas réussi a tout faire.
    voila l'énoncé:
    pré-requis:
    soit a B et C trois événements d'une meme expérience aléatoire,
    1)A et B sont incompatibles losque A∩B=emptysetemptyset
    2)A et B sont indépendants lorsque P(A∩B)=P(A)*P(B)
    3)(B∩C)∩(B∩A)=B∩(C∩A)
    4)B∩(AUC)=(B∩A)U(B∩C)

    soit A1 et A2 deux événements incompatibles et B un événement indépendant de A1et A2.
    a/ démontrer que les événements B∩A1 et B∩A2 sont incompatibles ,
    b/ démontrer que P(A1UA2)=P(A1)+P(A2).
    c/ démontrer que les événements B et A1UA2 sont indépendants.

    j'ai réussit à démontrer le b/
    si A1={a11a1_1;a12a1_2;...a1ka1_k} et A2={a21a2_1;a22a2_2;...a2ka2_k} sont 2 événements incompatibles on a:
    A1UA2={a11a1_1;a12a1_2;...a1ka1_k;a21a2_1;a22a2_2;...a2ka2_k}
    la probabilité de A1UA2 est alors la somme des probabilités de toutes les événtualités c'est a dire P(a11a1_1)+...+P(a1ka1_k)+P(a21a2_1)+...+P(a2ka2_k) c'est à dire P(a1)+P(A2)
    on a donc P(A1UA2)=P(A1)+P(A2)

    par contre pour le a/ et le c/ je ne sais pas comment faire. est ce que quelqu'un pourait m'aider? Merci d'avance


  • Modérateurs

    Salut,

    Pour la a) il faut que tu raisonnes de manière analogue à ce que tu as fait pour la b). A1 et A2 sont incompatibles donc A1∩A2=∅ : ils n'ont pas d'éléments en commun.

    (pas marrant ton exercice)



  • a/ A1∩A2=emptysetemptyset
    (B∩A1)∩(B∩A2)=B∩(A1∩A2)=B∩(emptysetemptyset)
    donc B∩(A1∩A2)=emptysetemptyset donc B∩A1=emptysetemptyset et B∩A2=emptysetemptyset
    donc B∩A1 et B∩A2 sont incompatibles.

    c/ B est indépendant de A1 et A2<=> P(B∩(A1∩A2))=P(B)*P(A1∩A2)
    P(B∩(A1UA2))=P(B∩A1)+P(B∩A2)=P(B)*P(A1)+P(B)*P(A2)
    donc B et A1UA2 sont indépendants.



  • est ce que mon raisonnement est bon? merci


  • Modérateurs

    Ecoute je trouve ton exercice ennuyeux au possible et je suis pourtant un des seuls à aimer les probas ici.
    A cette heure ProfExpress est encore ouvert je crois. Va leur demander !
    (Bah sinon je ferai un effort ...)


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