ROC démonstration proba

[oria]

bonjour à tous
j'ai un dm a faire sur une restitution organisé de connaissances mais je n'ai pas réussi a tout faire.
voila l'énoncé:
pré-requis:
soit a B et C trois événements d'une meme expérience aléatoire,
1)A et B sont incompatibles losque A∩B=$emptyset$
2)A et B sont indépendants lorsque P(A∩B)=P(A)*P(B)
3)(B∩C)∩(B∩A)=B∩(C∩A)
4)B∩(AUC)=(B∩A)U(B∩C)

soit A1 et A2 deux événements incompatibles et B un événement indépendant de A1et A2.
a/ démontrer que les événements B∩A1 et B∩A2 sont incompatibles ,
b/ démontrer que P(A1UA2)=P(A1)+P(A2).
c/ démontrer que les événements B et A1UA2 sont indépendants.

j'ai réussit à démontrer le b/
si A1={$a{1}_1$;$a{1}_2$;...$a{1}_k$} et A2={$a{2}_1$;$a{2}_2$;...$a{2}_k$} sont 2 événements incompatibles on a:
A1UA2={$a{1}_1$;$a{1}_2$;...$a{1}_k$;$a{2}_1$;$a{2}_2$;...$a{2}_k$}
la probabilité de A1UA2 est alors la somme des probabilités de toutes les événtualités c'est a dire P($a{1}_1$)+...+P($a{1}_k$)+P($a{2}_1$)+...+P($a{2}_k$) c'est à dire P(a1)+P(A2)
on a donc P(A1UA2)=P(A1)+P(A2)

par contre pour le a/ et le c/ je ne sais pas comment faire. est ce que quelqu'un pourait m'aider? Merci d'avance

[Thierry]

Salut,

Pour la a) il faut que tu raisonnes de manière analogue à ce que tu as fait pour la b). A1 et A2 sont incompatibles donc A1∩A2=∅ : ils n'ont pas d'éléments en commun.

(pas marrant ton exercice)

[oria]

a/ A1∩A2=$emptyset$
(B∩A1)∩(B∩A2)=B∩(A1∩A2)=B∩($emptyset$)
donc B∩(A1∩A2)=$emptyset$ donc B∩A1=$emptyset$ et B∩A2=$emptyset$
donc B∩A1 et B∩A2 sont incompatibles.

c/ B est indépendant de A1 et A2<=> P(B∩(A1∩A2))=P(B)*P(A1∩A2)
P(B∩(A1UA2))=P(B∩A1)+P(B∩A2)=P(B)*P(A1)+P(B)*P(A2)
donc B et A1UA2 sont indépendants.

[oria]

est ce que mon raisonnement est bon? merci

[Thierry]

Ecoute je trouve ton exercice ennuyeux au possible et je suis pourtant un des seuls à aimer les probas ici.
A cette heure ProfExpress est encore ouvert je crois. Va leur demander !
(Bah sinon je ferai un effort ...)