Comment étudier une fonction avec logarithme népérien

Bonjour,
Voici un exercice que j'ai à faire et j'aurais besoin d'aide pour certains points.Voici l'énoncé :

On se propose de montrer qu'il existe un point M0 de T, et un seul, tel que la distance AM0 soit minimale. Cette distance est alors appelée distance du point A à la courbe et notée d(A;T)

A]Etude d'une fonction auxiliaire.
1°démontrer que pour tout x>0, on a : lnx < x^2 + 1
2°Soit f la fonction sur ]0 ; + infini[ par f(x)=x-3 + (lnx/x)
a) calcluler les limites de f.
b)étudier les variations de f ( on pourra utiliser l'inégalité obtenu à la question 1).
c) prouver qu'il existe un réel alpha>0 unique tel que f(alpha)=0 et déterminer un encadrement de alpha de longeur 10^-1.
d) déduire des questions b) et c) le signe de f(x).

B]Distance du point A(3;0) à la courbe T d'équation y=ln(x).

Soit T la courbe d'équation y=ln(x) dans un répère othonormal du plan (unité de graphique 4 cm).

1°On considère la fonction d qui a tout x réel strictement positif associe la distance AM, où A est le point de coordonnées (3;0) et M le point de T d'abscisse x.
a) exprimer d(x) en fonction de x ; calculer d'(x) et montrer que d'(x) est du signe de f(x).
b) en déduire que la fonction d admet un minimum en alpha.
2°On note M0 le point d'abscisse alpha et (T0) la tangente a T en M(0).
a)Montrer que (AM0) est perpendiculaire à (T0)
b)Montrer que ln alpha = - alpha^2+3alpha. En déduire une constuction graphique de alpha puis de M0 et (T0).

Merci d'avance! bonne journée à vous.
PS: pour faire cet exercice je n'ai que 5 jours donc pourriez-vous jeter un coup d'oeil rapide si vous en avez le temps.

La première question je viens de la réussir car j'avais un exemple similaire dans mon cours...
mais pour les limites je ne sais pas si j'adopte le bon raisonnement...
voila ce que j'ai fais: ouii...merci c'est ce que j'ai fais.
mais la je bloque aux limites...j'ai trouvé:

lim(x tend vers + infi) f(x) = lim (...) x^2/x = lim (...) x = +inf
car en + - inf toute puissance de x l'emporte sur ln x

lim(x tend vers 0) f(x)=? On pose X= lnx/x x tend vers 0 et X tend vers - infini.
f(x) est alors = lnx/X - 3 + X lin (...) ln/X - 3 +X = - linfini.

Est - ce le bon raisonnement?

bonjour
pour le A 2ème question
tu cherches bien à étudier f(x) ?
pour la limite vers + infini tu n'as pas besoin de la question précédente
tu dois connaitre la limite de ln(x)/x en + l'infini .c'est du cours.
@+

ouaiss ok..... merci
et pour la partie B j'ai aucune idée.Comment je dois raisonner?
mercii pour ton aide....
bonne soirée.

il faut calculer AM² avec la formule classique utilisant Pythagore...
tu en déduis d= ...
en calculant la dérivée tu retrouveras au numérateur la fonction du A.
bon courage.
@+

heuu j'ai pas compris
comment fait - on pour déduire que la fonction d admet un minimum en alpha????????
je ne vois vraiment pas....

bonjour,
donc pour la partie B 2 a j'ai fait d(x) = $s q r t$ (x-3)² + (lnx-0)²
d(x) = $s q r t$ (x-3)²+lnx²) puis je mettre ensuite que d(x) = x-3 + lnx car la racine au carrée s'annule ?!
donc aprés sinon j'ai fait : d(x) = x-3 + lnx est de la forme u+v donc d'(x) = 1+ 1/x = x+1 /x
d'(x) = x+1 /x > 0 car x >0 donc du même signe que f .

ensuite pour le b je bloque ....

Salut.

La racine au carré oui, mais pas la racine de la somme des carrés. Prenons un exemple :

√(1²+2²) = √(1+4) = √(5)

Mais 1+2 = 3 ≠ √(5).

@+

ouais ok c'est vrai...
et pourrais tu m'aider pour le 2) du B° je n'y arrive vraiment pas je cherche depuis mercedi...c'est galère.
merci.
bonne soirée!

bonjour,
Donc je suis bloqué pour le 2/ de la partie B !!
On doit montrer (AM0) perpendiculaire à (T0) .... on sait déjà les coordonnées de A( 3;0) , M0 (alpha; ln x) et T0 étant une tangente a comme équation f'(a) (x-a) +f(a) mais je ne vois pas ce qu'il faut faire !! Merci de m'aider au plus vite ce serait sympathique de votre part. Bonne journée et merci d'avance.

Salut thefifi,
N'as-tu pas vu dans ton cours une condition sur les coefficients directeurs de deux droites pour qu'elles soient perpendiculaires (peut-être l'as-tu vu pour des équations cartésiennes de droites). Il faudrait dans un premier temps calculer l'équation de la droite (AM0).

j'arrive plus a retrouver comment on calcul une équation de droite...
Pourrais - tu me le donner?
merci.