DM sur fonctions logarithme et exponentielle



  • Bonsoir,

    j'ai toujours de trés gros problème avec les fonctions exponentielles et maintenant on y a rajouté les logarithme, vous comprendrez j'espère que l'on puisse rien y comprendre même en sachant le cours!! je n'arrive pas à l'appliquer!
    Merci d'avance pour votre aide.

    voici l'énoncé:

    Dans tout le problème n désigne un entier non nul. fn(x) = xe^(x) -nx
    On note Cn sa courbe dans un repère orthonormal.

    A) Soit gn la fonction définie sur R par:

    gn(x)=(1+x)e^(x) - n

    1. Déterminér la dérivée de gn. Faire le tableau des variations de gn et déterminer les limites de gn aux bornes de son ensemble de définition.

    2)Montrer que gn s'annule pour une unique valeur alphan et que alphan est positif ou nul.

    3)Montrer que alphan = ln(n/(1+alphan)) et o < alphan <ln(n)

    1. a) Montrer que pour tout réel x>0 on a :

    ln(x)< x-1
    b) En déduire le signe de gn(ln(racine carrée de n))
    c) Justifier que 1/2 ln(n) < alphan

    quelles sont les limites des suites de terme général alphan et alphan/n ?

    B )

    1. a) Déterminer la dérivée de fn. En déduire les variations de fn.
      b) Déterminer les limites de fn aux bornes de son ensemble de définition.
      c) Montrer que fn(alphan) = (-nalpha²indice n )/(1+alphan)

    2. Montere que Cn admet une asymptote Dn que l'on déterminera.

    3. Déterminer les points d'intersection de Cn et de l'axe des abscisses et préciser la position de Cn par rapport à cet axe.

    4. Etudier les positions relatives de Cn et Cn+1

    5. a) Montrer que 0.35 < alpha indice 2 < 0.40
      Déterminer les valeurs décimales approchées à 10^-2 prés, par défaut et par excès de alpha indice 2.
      En déduire un encadrement de f indice2 (alpha indice 2).

    b)Tracer C1 et C2 sur le même graphique en mettant en évidence les résultats précedents.
    On précisera les tangentes en 0 à C1 et C2.

    voici mes reponses:

    1. gng_n'(x)=e^x-n+(1+x)xe^x
    2. je ne vois pas
      3)toujours pas
      4)non plus

    B-1) fn'(x)=e^x+x(xe^x)-n
    ...

    puis voila pour l'instant

    Merci déjà si vous avez réussi à me lire jusque là, et surtout bon courage pour m'aider si vous avez réussi à comprendre.
    merci beaucoup aux matheux moi je crois que je vais changer de voix...

    @+

    Intervention de Zorro = orthographe du titre ... les fonctions**


  • Modérateurs

    resalut,
    Bon commençons par le début, pour la quesion 1) il y a une petite erreur dans ta dérivée qui a dû bien t'embêter pour faire le tableau de variations...
    Un exo de maths c'est pas si dur, si tu le prends doucement, sans vouloir te presser et en étant rigoureux (toujours se demander si on a le droit de faire ce que l'on fait). Et puis tu m'as pas l'air si mauvais que ça, j'ai vu bien plus inquiétant en TS, il n'y a aucune raison de changer de voix...



  • mais en fait ya se gng_n qui m'embête car on a définie au départ fnf_n et je ne comprend pas comment faire pour résoudre se gng_n'(x)...


  • Modérateurs

    on ne résout pas gn'(x), on le calcule...
    Ce que tu avais fait est presque bon, il n'y a qu'un détail à changer.



  • je ne trouve pas se détail... en fait le n m'embete je ne vois pas comment le dérivée..


  • Modérateurs

    n est une constante, quelle est la dérivée d'une constante ?



  • la derivé d'une constante est elle meme????


  • Modérateurs

    lorsque tu dérives 3x+2 ça donne quoi ?



  • 3



  • sa fait donc gn'(x)=e^x-n+(1+x)xe^x-n ? ? ? ? ? ?

    Mais pour la suite je bloque merci de votre aide



  • la lim x->+oo de gn(x)=+oo; car limx->+oo(1+x)=+oo et
    limx->+oo e^x-n = limx->+oo e^x =+oo

    la limx->-oo de gn(x)= FI ; car limx->-oo (1+x)=-oo et limx->-oo e^x-n = limx->-oo e^x = 0 et -oo*0=FI et ne voi pas comment lever l'indetermination.....


  • Modérateurs

    Citation

    ça fait donc gn'(x)=e^x-n+(1+x)xe^x-nNON, quand tu dérives 3x+2, la constante c'est 2, le 3 est ici un coefficient multiplicateur de la variable x.
    Pour la limite en +∞ ok, pour celle en -∞, ne connais-tu pas la limite en -∞ de xexxe^x ou celle en +∞ de xexxe^{-x} ce qui revient à peu près au même ?



  • Et pour la derivée ce que tu ma dit n m'aide pas vraiment??

    limx->-oo de xe^x = 0 et limx->+oo de xe^(-x) = 0
    mais cela m'aide pour quoi



  • gn(x)= (1+x)e^x-n = xe^x-nx ???

    limx->-oo de xe^x = 0 et limx->-oo de nx = -oo

    donc limx->-oo de gn(x) = -oo

    ??????



  • bon je m't suis mit serieusement voilà ce que je trouve...

    A)

    1. gn'(x)=[(1+x)e^x]'=[uv]'=u'v+uv'
      Avec u(x)=1+x et v(x)=e^x
      lim gn(x) = -n car lim e^x=0 en -oo
      x->-oo
      lim gn(x)=+oo car lim e^x=+oo en +oo
      x->+oo
    2. je n'arrive pas a faire le tableau de variation et j'ai besoin de votre aide
      3)gn(alphan) = (1+alphan)e^(alphan)-n = 0
      e^(alphan)=n/(1+alphan)
      alphan = ln(n/(1+alphan))
      alphan > 0 donc 1+alphan > 1 et n/(1+alphan) < n
      Donc 0 < alphan < ln(n)
      4)a) Il faut étudier la fonction h(x)=ln(x)-(x-1) = ln(x)-x+1 sur ]0,+oo[ et montrer qu'elle est toujours négative
      mais je ne vois pas comment
      b) ln(Vn) < Vn-1
      g(ln(Vn)) < gn(Vn-1)
      Il faut calculer gn(Vn-1) pour connaître son signe mai la aussi je bug..
      c) Comme gn est monotone pour x>0, a<b <=> g(a)<g(b)
      on montre que gn(1/2ln(n)) < gn(alphan)
      et 1/2ln(n)=ln(Vn)

    1/2ln(n) < alphan < ln(n) et 1/2ln(n)/n < alpha n < ln(n)/n


  • Modérateurs

    Citation
    gn'(x)=[(1+x)e^x]'=[uv]'=u'v+uv'
    Avec u(x)=1+x et v(x)=e^x
    donc gn'(x)=...
    Tu étudies ensuite le signe de cette dérivée pour faire ton tableau de variations.

    1. ok (n'oublie pas d'évoquer la croissance de la fonction ln)
    2. dresse un tableau de variation de h

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