Donner des expressions vectorielles dans un parallélogramme

[tilkes]

Bonsoir,
voilà, j'ai un exercie et pour être sur que j'ai bon, je vous demande votre avie, voici l'énoncé :

On considère un parallélogramme ABCD de centre O
Soitle milieu de [AB] et J le milieu de [AO]
Soit K le point vérifiant $DK=\frac{1}{4}DC$

1/Exprimez $JK$en fonction de $AD$

2/Exprimez $IO$en fonction de $BC$

3/Montrez que les droites $(JK)$ et $(IO)$ sont parallèles.

Voilà ce que j'ai fait :

1/
$JK=JA+AD+DKJK=\frac{1}{2}OA+AD+\frac{1}{4}DCJK=\frac{1}{2}OA+AD+\frac{1}{4}(DA+AC)JK=\frac{1}{2}OA+AD+\frac{1}{4}DA+\frac{1}{4}ACJK=\frac{1}{4}CA+AD-\frac{1}{4}AD+\frac{1}{4}ACJK=(\frac{1}{4}-\frac{1}{4})CA+(\frac{4-1}{4})ADJK=\frac{3}{4}AD$

2/
$IO=IB+BC+COIO=\frac{1}{2}AB+BC+\frac{1}{2}CAIO=\frac{1}{2}AB+BC+\frac{1}{2}(CB+BA)IO=\frac{1}{2}AB+BC+\frac{1}{2}CB+\frac{1}{2}BAIO=\frac{1}{2}AB+BC-\frac{1}{2}BC-\frac{1}{2}ABIO=(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})AB+(\frac{2-1}{2})BCIO=\frac{1}{2}BC$

3/Il s'agit d'un parallèlogramme donc $AD=BC$ donc $JK=\frac{3}{4}AD=\frac{3}{4}BC$

soit $JK=\frac{3}{4}BCetIO=\frac{1}{2}BC$
$JK=k(IO)soitJK=\frac{3}{2}(\frac{1}{2}BC)$
Donc les droites sont colinéaires.

[kanial]

C'est bon !!!

[tilkes]

Oh merci, ah je suis trop fier de moi xD