Devoir d'entrainement . Limites de suites.

[EltraiN]

Bonjour.
Suite à notre prochain DS, notre prof de math nous a conseillé pour nous entrainer de refaire cet exercice mais il ne nous a pas donné le corrigé. J'aimerais donc savoir si il était possible de me guider dans cet exercice.

On se propose d'étudier la suite (Un) définie sur l'ensemble des entiers naturels par Uo=1 et Un+1=Un E^-Un pour tout entier naturel n, puis la convergence de la suite (Sn) définie par Sn=∑u .

1°) a-Montrer que pour tout entier n, Un est positif.
b-Montrer que la suite (Un) est décroissante.
c-En séduire qu'elle converge et trouver sa limite (on admettra le théorème suivant : "toute suite décroissante et minorée converge").

2°) Montrer que pour tout entier naturel n, Un+1=e^-Sn, et en déduire que (Sn) tend vers + l'infini quand n tend vers + l'infini.

Merci !

modif : problème d'affichage

[Thierry]

Salut,

S'agit-il bien de la suite :

$\left{ {u_0=1 \ u_{n+1}=u_n.e^{-u_n } \right.$

?

[WIWIWI]

Salut,

Voici quelques conseils : utilise des démonstrations par récurrence (pour 1)a),b) et 2)
Etape 0 : je montre que l'hypothèse $H_n$ est vraie pour n=0
Etape n : je suppose que l'hypothèse $H_n$ est vraie pour tout n>0, et je montre que cela implique que l'hypothèse $H_{n+1}$ est vraie.
Tu auras alors montré que $H_n$ est vraie ∀n≥0.

a) $H_n$ : "∀k≤n, $U_k$ > 0'. utilse le fait que exp(x)>0 ∀x
b) $H_n$ : "∀k≤n, $U_k$ > $U_{k+1}$'
c) C'est minoré par 0 puisque∀n, $U_n$ > 0 et c'est décroissant donc ça converge.
Rappel : xexp(-x)→0exp(-0)=0*1=0 qd x→0.

2. $H_n$ : "∀k≤n, $U_{k+1}$=exp(-∑$U_i$)' (la somme étant de 0 à k)
   Comme exp(-∑$U$i$)=U</em>k+1$→0 qd k→∞, ∑$U_i$→∞ qd k→∞ puisque exp(-x)→0 qd x→∞

Voilà, j'espère avoir été clair,

A plus