Exercice sur le sens de variations de suites



  • Salut, J'ai quelques problémes pour les calculs sur les suites :
    Donc il faut que je trouve le sens de variations de suites, il y a certain énoncé ou j'y arrive car je rajoute n+1 et je fait Un+1U_{n+1} - UnU_n mais a d'autres je ne vois pas comment faire cette méthode.

    A) VnV_n = 22^n/3n+1/3^{n+1} pour n>ou égale a 0

    B)
    U1U_1 = 3
    UnU_n = 1/2Un11/2U_{n-1}

    C) u0u_0 = 0 et un+1u_{n+1} = unu_n - n pour tout n>0

    D)
    U1U_1 = 18
    UnU_n = un1u_{n-1} - 2

    Merci d'avance pour votre aide

    Intervention de Zorro = ajout d'espaces pour régler un souci d'affichage



  • Bonjour

    Il faut donc dans le premier exercice étudier le signe de Vn+1V_{n+1} - VnV_n

    sachant que VnV_n = 22^n/3n+1/3^{n+1}

    que vaut Vn+1V_{n+1} ?

    donc que vaut Vn+1V_{n+1} - VnV_n ?

    Tu peux continuer ?



  • A tout hazard :
    Vn+1 = 2(n+1) / 3(n+1)+1
    Vn+1 = 2n +1 / 3n +4

    Vn+1 - Vn = 2n+1/3n+4 - 2n/3n+1 ??



  • Tu es bien parti ... il faut étudier le signe de ce que tu as trouvé pour Vn+1V_{n+1} - VnV_n .. (mettre les fractions au même dénominateur etc ...

    Mais :

    Pour écrire plus joliment les énoncés avec des indices, afin de pouvoir faire la différence entre Un+1U_{n+1} et UnU_n + 1 merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.

    Et à vu l'heure et la quantité de travail qui m'attend pour demain très tôt, il va falloir que je me déconnecte.

    Bonne suite de réflexion ! 😄



  • Ok merci de votre aide mais je galére plus sur les questions avec U1 et Un...


  • Modérateurs

    Salut killmat,
    pour montrer la croissance (ou la décroissance) d'une suite, il y a deux méthodes :
    *Calculer UU{n+1}Un-U_n et en déterminer le signe : si c'est positif la suite est croissante et vice-versa.
    *Calculer UU
    {n+1}/Un/U_n et le comparer avec 1 : si c'est plus grand que 1 la suite est croissante et vice-versa. Attention cette méthode nécessite de savoir qu'aucun terme de la suite n'est nul...

    Voilà, pour le A les deux méthodes fonctionnaient, pour le B je te conseille la seconde méthode et pour les C et D la première méthode est de loin préférable...



  • Rebonjour, merci pour les explications, le probléme est que je ne vois pas par ou commencer avec les systéme du type de B et C.


  • Modérateurs

    Alors une précision sur ce que je t'ai dit : quand on parle de calculer UU{n+1}Un-U_n ou UU{n+1}/Un/U_n en fait l'important c'est de calculer la différence ou le rapport de deux termes consécutifs quelconques mais que ce soit Un+1U_{n+1} et UnU_n ou Un+12U_{n+12} et Un+13U_{n+13} cela ne change rien...
    Pour la B, tu as essayé de calculer le rapport de deux termes consécutifs quelconques ?



  • Ahh donc pour le B je peux faire U1U_1=3 et u2u_2= 1/2x3= 3/2 et faire la comparaison avec 1 ??


  • Modérateurs

    Aïe non, désolé ce que j'ai dit était confus.
    Ce que je voulais dire c'est que pour déterminer la croissance de la suite il faut que tu prennes un terme quelconque de la suite (ce qui ne veut pas dire que tu prends celui que tu veux mais que tu en prends un "au hasard") et que tu le compares au terme qui le suit (en faisant un rapport ou une soustraction) mais ce terme pris au hasard il n'est pas obligatoire que tu l'appelles UnU_n, cela peut très bien être Un+4U_{n+4} (qui sera à comparer alors avec Un+3U_{n+3}) ou Un2U_{n-2} (pour n≥2 car U2U_{-2} et U1U_{-1} ne sont pas définis)



  • Ok mais je ne vois pas comment l'appliquer pour le B par exemple...


  • Modérateurs

    Ne peux-tu pas faire assez rapidement le rapport de deux termes consécutifs quelconques ?



  • Moi aussi j'ai le même type d'exercice a faire mais je ne c'est pas comment faire avec ces sytéme...



  • Je pourrais peut etre faire pour la B) UU{n+1}=1/2u</em>n1=1/2u</em>{n-1}(n+1) mais je ne c'est pas si sa marche...


  • Modérateurs

    Citation
    U<em>n+1<em>{n+1}=1/2U
    {n-1}$(n+1)
    c'est pas que ça marche pas c'est que c'est faux ! Comment en arrives-tu à cela ? La formule de récurrence que tu as ne te dis tout simplement en fait qu'un terme de la suite est la moitié du terme précédent...



  • Ahh ok mais comment je trouve Un+1U_{n+1} ? parcequ'il me le faut pour pouvoir faire la division UU_{n+1}/Un/U_n.



  • Pour quelle question te poses tu cette question ? pour la b) ?

    On te dit que U1U_1 = 3
    UnU_n = (1/2)Un1(1/2)U_{n-1} .... Est-ce bien (1/2)Un1(1/2)U_{n-1} ou 1/(2Un11/(2U_{n-1})

    Dans tous les cas on te dit que le terme de rang n = quelque chose en fonction du terme de rang n-1

    cela veut dire que le terme de rang n = quelque chose en fonction du terme de rang précédent

    donc le terme de rang n+1 = quelque chose en fonction du terme de rang précédent de celui de rang n+1 c'est à dire quelque chose en fonction du terme de rang n

    les entiers sont rangés dans l'ordre n-2 , n-1 , n , n+1 , n+2

    cela veut dire que :

    le précédent de n c'est n-1

    le précédent de n+1 c'est n

    le suivant de n-2 c'est n-1

    le suivant de n+1 c'est n+2 etc ...



  • C'est bien (1/2)<em>Un1(1/2)<em>U_{n-1}.
    Ahh donc si j'ai bien compris Un+1U_{n+1} = 1/2</em>un1/2</em>u_n ?


  • Modérateurs

    Oui ! Il faut bien comprendre que UnU_n = (1/2)Un1(1/2)U_{n-1} est vrai pour tout n∈mathbbNmathbb{N}, donc pour (n+1) ce qui te donne Un+1U_{n+1} = 1/2</em>Un1/2</em>U_n. Et c'est donc vrai pour n'importe quels termes consécutifs de la suite.



  • Ok donc pour le calcul je fait UU{n+1}/Un/U_n donc (1/2)u(1/2)*un/(1/2)u</em>n1/(1/2)*u</em>{n-1} mais je fait comment avec ce u</em>n1u</em>{n-1} ? il faut que j'utilise u1u_1 ?


  • Modérateurs

    Tu crois vraiment qu'il est utile de remplacer UnU_n par (1/2)Un1(1/2)U_{n-1} ?
    Il faudra aussi que tu justifies qu'aucun terme de la suite n'est nul et que tous les termes sont positifs...



  • Ok ba la je bloque je ne vois pas par quoi remplacer UnU_n il faut surment que j'utilise u1u_1 mais je ne vois pas comment...


  • Modérateurs

    Mais pourquoi veux-tu le remplacer ?????
    M'enfin tu as UU{n+1}=(1/2)Un=(1/2)U_n, c'est si compliqué que ça de calculer UU{n+1}/Un/U_n ???



  • Ah d'accord il faut passer UnU_n de l'autre côté donc sa fé UU_{n+1}/Un/U_n = 1/2 c'est sa??


  • Modérateurs

    oui !!!



  • Donc la comme 1/2 est positif je peux dire que la suite est positive ou il en faut plus?


  • Modérateurs

    Non, tu peux tout simplement dire que tu as une suite géométrique et donner l'expression de UnU_n en fonction de n.



  • Ok mais je l'exprime comment en fonction de n? ^^



  • Si (Un(U_n) est une suite géométrique de premier terme U0U_0 et de raison q alors

    UnU_n = U0U_0 ............ (à toi de finir en apprenant ton cours)


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