Suite et démonstration



  • Bonjour, je suis nouvelle ici
    Je n'ai pas l'habitude de demander de l'aide pour un devoir de maths mais là je bloque completement sur une démonstration, j'ai essayé plusieurs méthodes mais mes tentatives sont vaines, je ne parviens jamais au résultat que je suis sencée trouver.
    Je dois en effet démontrer que : Vn+1 < (1/7) Vn
    Je sais que Vn = 1 - Un
    Que Un+1 = ( Un - 😎 / ( 2Un - 9)
    egalement que Un+1> Un et que Un < 1
    J'ai eu beau recommencer plusieurs fois mes calculs , je n'arrive pas au bon résultat, je dois forcément commettre une erreur quelque part mais je ne sais pas où...
    Si quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider dans cette démonstration je lui en serais trés reconnaissante...
    Merci d'avance


  • Modérateurs

    Salut desperategirl,
    Commençons par UnU_n, Un+1U_{n+1}> UnU_{n } ⇔ ( Un - 😎 / ( 2Un - 9) > UnU_n, soit une équation du second degré à résoudre.
    Pour la suite il nous manque la valeur de U0U_0...



  • Pardon, U0U_0 = - 3
    par contre je ne comprends pas pourquoi il faut commencer par résoudre cette inéquation ...


  • Modérateurs

    En fait comme on nous demande de montrer que Un+1U_{n+1}> UnU_{n }, on regarde quand est-ce que Un+1U_{n+1}> UnU_{n } et avec un peu de chance on trouvera que c'est tout le temps vrai et pour regarder quand est-ce que c'est vrai il faut remplacer Un+1U_{n+1} par sa valeur en fonction de UnU_{n } puis résoudre.
    Pour prouver que UnU_n<1, je te conseille de faire une récurence.



  • Je pense m'etre mal fait comprendre, mon probleme n'est pas de démontrer que Un+1 > Un ou que Un< 1, je l'ai deja montré avant !
    Ce que je dois démontrer concerne une autre suite: (Vn) , je dois démontrer que Vn+1V_{n+1} < 1/7 Vn sachant que Vn= 1 - Un
    Je donnais simplement ces données supplémentaires ( à savoir Un est croissante et Un+1 en fonction de Un) parce que je pense qu'elles sont necessaires pour démontrer mon inégalité...


  • Modérateurs

    Ah ok,donc pour cela, il faut que tu exprimes Vn+1V_{n+1} en fonction de UnU_n, puis en remettant sur le même dénominateur, tu devrais reconnaître VnV_n au numérateur et tu devrais pouvoir minorer le dénominateur par 7 en utilisant le fait que UnU_n<1.



  • Ok merci donc ça fait bien Vn+1V_{n+1}= VnV_n/( 2Un2U_n - 9 ) et en utilisant UnU_n < 1 on retrouve bien 2Un2U_n - 9 < - 7 , mais comment à partir de cette égalité revenir à l'inégalité que je dois démontrer ?


  • Modérateurs

    Il y a une erreur de signe dans ce que tu as écris ! (dans la relation entre Vn+1V_{n+1} et VnV_n)



  • Ah oui en effet Vn+1V_{n+1} = - Vn / ( 2Un2U_n - 9)

    En utilisant UnU_n < 1, on voit que Vn+1V_{n+1} > 0
    , que - VnV_n < 0 et 2Un2U_n - 9 < - 7
    mais désolée je ne vois toujours pas comment pas rapprocher ces résultats de l'égalité que je dois trouver...


  • Modérateurs

    Tu as donc VV_{n+1}=V=V_n/(92Un/(9-2U_n)
    Or 92Un9-2U_n ?? 7 donc 1/(92Un1/(9-2U_n) ...
    Et VnV_n est positif donc VV_n/(92Un/(9-2U_n)...



  • Ok j'ai compris merci beaucoup 🙂


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