Spécialité Ts(Arithmétique- nombres premiers)



  • Bonjour à tous,

    Voilà, je bloque sur un exercice de mon dm de spé maths :

    1. Montrer que, si deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux, a²+b² et ab le sont aussi.

    2. On veut determiner tous les couples d'entiers naturels (x;y) tel que ppcm(x;y)=30 et x² + y² = 325.

    a) Montrer que tous les couples d'entiers naturels (x;y) qui vérifient ces propriétés ont le même pgcd. En donner la valeur.

    b) Déterminer tous les couples d'entiers naturels (x;y)

    Pour la 1) je pense qu'il doit y avoir un rapport avec le théoréme de Bézout qui énonce que pour a et b premiers entre eux, il existe des réels u et v tel que : au + bv = 1. Mais ensuite je ne voit vraiment pas comment m'en servir. Puis je n'ai pas non plus d'idées pour la question 2a) et 2b) ... Ce serait vraiment sympa de m'aider, je bloque totalement, si vous pouvez me donner une piste...

    Merci d'avance


  • Modérateurs

    salut shughen,
    pour la question 1, on considère un nombre d qui divise a²+b² et ab et on va essayer de montrer qu'alors d est forcément égal à 1. En te souvenant que si d divise a²+b² et ab alors d divise toute combinaison linéaire de a²+b² et ab essaie de déterminer que d divise a à une certaine puissance et b à une certaine puissance, puis comme a et b sont premiers entre eux, tu pourras conclure ...



  • Comment appliquer ça à la q2 ? Si il y a un vrai rapport entre la 1 et la 2... Personellement je trouve d'abord le couple, ensuite le pgcd 😲 Comment démontrer que tous ces couples ont le même pgcd ?


  • Modérateurs

    Tu as changé de nom ?
    le pgcd de x et de y est un diviseur de x et de y il est donc nécessairement un diviseur x²+y²...
    La première question permet d'éliminer une valeur possible du pgcd (par contraposée), les autres sont éliminables par la condition portant sur le ppcm.



  • Non c'est un autre utilisateur mais qui a le meme problème 😉
    Euh... C'est quoi la contraposée ?? 😕


  • Modérateurs

    Salut,

    contraposée.
    Regarde si mon explication t'inspire ...



  • Merci pour votre aide en tout cas !


  • Modérateurs

    pour être plus explicite en ce qui concerne la contraposée, ici on sait que :
    a et b premiers entre eux ⇒ a²+b² et ab premiers entre eux
    donc :
    si a²+b² et ab ne sont pas premiers entre eux que peux-tu en déduire sur a et b ?



  • qu'ils ne sont pas premiers entre eux 😄 Merci beaucoup à tous !


 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.