Calcul de probabilité d'erreur

Bonjour tout le monde... J'ai un exo sur les probas et j'ai un peu de mal. Est ce que vous pourriez m'aider?
Voila:
Dans un lot de 100 pièces de monnaie toutes de même apparence, ont été mélangées 60 pièces équilibrées et 40 pièces truquées.
La probabilité d'apparition de "PILE" lors d'un jet d'une pièce truquée est 3/4.
La probabilité d'apparition de "PILE" lors d"un jet d'une pièce équilibrée est 1/2.

Soit T l'évènement "la pièce est truquée",
Soit P l'évènement "on obtient "PILE" ".

On prend une pièce au hasard et on la lance quatre fois.
. Si au cours des quatre lancers on obtient quatre fois "PILE", on décide d'éliminer la pièce,
. dans le cas contraire, on décide de conserver la pièce.
On note E l'évènement "la pièce est éliminée".

a. Quelle est la probabilité que la pièce soit éliminée sachant qu'elle est équilibrée?
La je trouve 1/16... Mais je ne suis pas sure de mon résultat. S'il est bon est ce que l'arbre est suffisant pour prouver ma réponse?

b.Quelle est la probabilité que la pièce soit conservée sachant qu'elle est truquée?
La je trouve 1-(3/4)^4... Mais je sais pas trop comment expliquer mon résultat ... l'arbre suffit?

c. Quelle est la probabilité d'avoir pris une pièce équilibrée et de l'avoir éliminée ou d'avoir pris une pièce truquée et de l'avoir conservée?
La par contre je n'ai pas de réponse. On me demande bien P(Tbarre inter E) et P(T inter Ebarre) ?

Merci d'avance pour vos réponses...

Salut misty,
Pour la première question faire un arbre est une bonne idée mais pour la justification il suffit de dire qu'il s'agit de 4 lancers indépendants et que pour que la pièce soit éliminé il faut qu'elle tombe 4 fois sur pile, ce qui est de probabilité 1/2, la probabilité de cet événement est donc bien (1/2)^4.
Pour la b, tu as pris l'événement contraire et tu as bien fait, en fait il s'agit de trouver au départ la probabilité pour que la pièce tombe au moins une fois sur face, le contraire est l'événement : la pièce tombe 4 fois sur pile, ce qui esst de proba (1/4)^4 par la même justificaion que pour a)
pour la c , on te demande en fait $p((t‾∩e)∪(t∩e‾))p((\overline{t}\cap e) \cup (t\cap \overline{e}))$ , puisqu'il s'agit de (pièce truquée et non éliminée) ou (pièce non truquée et éliminée), comment peut-on traduire le ou, c'est-à-dire la réunion, ici ?

Euh... bonne question il y a du avoir un bug parce que ça fait un truc bizarre ^^

Désolé une simple erreur de balise latex, c'est corrigé...

Aah bah oui c'est un union suis-je bête
Euh... Est ce que ça correspondrait à l'addition des deux résultats précédents??

oui, mais pourquoi ? Que vaut en général p(A∪B) ?

C'est p(A) + p(B) + p(A inter B)? Mais la si on utilise cette formule c'est pas un peu trop compliqué...?

non ça n'a rien de très compliqué, A∩B étant ici un événement assez simple...

D'accord mais alors là, on aurait:
p(Tbarre∩E) + p(T∩Ebarre) - p((Tbarre∩E) ∩ (T∩Ebarre) ??

oui mais qu'est-ce que $p((t‾∩e)∩(t∩e‾))p((\overline{t}\cap e) \cap (t\cap \overline{e}))$ ?

P(Tbarre sachant E) + P(T sachant E barre)?

Ah non pas du tout, traduis l'événement en français si tu ne vois pas...

La probabilité que la pièce soit truquée et éliminée et qu'elle ne soit pas truquée et gardée?!! donc euh.. 0??

et oui 0, ce qui fait que ce n'est pas si compliqué que ça... Alors maintenant il faut voir ce que valent $p(t‾∩e)p(\overline{t}\cap e)$ et $p(t∩e‾)p(t\cap \overline{e})$

Hum pour p(T barre inter E) j'ai 3/80...
Et pour p(T inter Ebarre) j'ai 35/128.
Donc l'union ferait 199/640..
Non?

Ton résultat m'a l'air juste bien qu'il soit assez compliqué...

Okay, merci beaucoup pour ton aide !! :rolling_eyes: