Résoudre un problème sur l'integration par partie

Bonsoir,

J'ai un DM à faire et le 1er exo est sur l'intégration par partie. Je bloque complet même avec le cours sous les yeux, j'ai du loupé quelque chose.
Merci d'avance pour votre aide.

En remarquant que 10t² / 1+t² = 5t * (2t / (1+t²)) établir l'égalité:

I = 5/2 * ln(5/4) - 5 intégrale de 0 à 1/2 ln(1+t²)dt

voilà ce que j'ai fait mais je bloque dans le développement:
2t/(1+t²) est du type w'/w donc une primitive de 2t/(1+t²) est ln(1+t²)
Et on a v'=5

Donc intégrale( 5t2t/(1+t²) )= [5tln(1+t²)] - intégrale(5ln(1+t²)) = [5tln(1+t²)] - 5intégrale(ln(1+t²))

on pose pour x positif ou nul:

f(x)=ln(1+x) - x + (x²/2) et g(x)= ln(1+x) - x

a) en utilisant les variations de f démontrer que f(x) > ou égal 0
En précisant de la même façon on pourrait établir que g(x) < ou égal à 0, intégralité que l'on admettra ici.
b) A l'aide de ce qui précéde montrer que l'encadrement :

t² - (t^4/2) < ou égal à ln (1+t²) < ou égal à t² est vrai pour tout réel t.

c) Déduire de la question précédente que :

-5/24 < -5 intégrale de 0à 1/2 *ln (1+t²)dt < -37/192

Si t² - t^4/2 < ln (1+t²) < t² alors intégrale(t² - t^4/2) < intégrale(ln (1+t²)) < intégrale(t²)
<=> -5intégrale(t²) < -5 * intégrale(ln (1+t²)) < -5intégrale(t²-t^4/2)

En utilisant les questions précédentes donner un encadrement d'amplitude inférieure à 0.02 de I par des nombres décimaux aynat trois chiffres aprés la virgule.

je n'arrive pas jusqu'au bout:
I = 5/2 * ln(5/4) - 5 intégrale de 0 à 1/2 ln(1+t²)dt
Et -5/24 < -5 intégrale de 0à 1/2 *ln (1+t²)dt < -37/192

<=> -5/24 + 5/2*ln(5/4) < -5 intégrale de 0à 1/2 ln (1+t²)dt < -37/192 + 5/2ln(5/4)

voilà trés complexe pour moi. Merci pour votre aide. @+

Salut benja,

qu'est-ce que I ?
2)le a) est assez détaillé : tu dérives f, tu conclus sur sa monotonie et tu évalues f en 0.
b) tu appliques les inégalités du a) à t²
c) Tu intègres l'inégalité précédente, tu n'as plus qu'à calculer les deux intégrales qui encadrent, il faut donc trouver une primitive de t² et une primitive de (t^4)/2.
cf 1)

bonjour, alors j'ai avancé un peut dans cet exercice mais pas beaucoup et jais donc encore besoin de votre précieuse aide:
alors voilà ce que j'ai fait:

En remarquant que 10t² / 1+t² = 5t * (2t / (1+t²)) établir l'égalité:

I = 5/2 * ln(5/4) - 5 intégrale de 0 à 1/2 ln(1+t²)dt

->
2t/(1+t²) est du type w'/w donc une primitive de 2t/(1+t²) est ln(1+t²)
Et on a v'=5

Donc intégrale( 5t2t/(1+t²) )= [5tln(1+t²)] - intégrale(5ln(1+t²)) = [5tln(1+t²)] - 5intégrale(ln(1+t²)) = F(1/2)-F(0) - 5intégrale(ln(1+t²)) = (5/2ln(5/4))-(0ln(1))-5intégrale(ln(1+t²))
= (5/2ln(5/4)-5intégrale(ln(1+t²))

on pose pour x positif ou nul:

f(x)=ln(1+x) - x + (x²/2) et g(x)= ln(1+x) - x

a) en utilisant les variations de f démontrer que f(x) > ou égal 0
En précisant de la même façon on pourrait établir que g(x) < ou égal à 0, intégralité que l'on admettra ici.
b) A l'aide de ce qui précéde montrer que l'encadrement :

t² - (t^4/2) < ou égal à ln (1+t²) < ou égal à t² est vrai pour tout réel t.

c) Déduire de la question précédente que :

-5/24 < -5 intégrale de 0à 1/2 *ln (1+t²)dt < -37/192

2-a ->
je dérive f(x) et je trouve f'(x) = 1/(1+x)-1+(4x-x²)/2² je pense qu'il faut le mettre au même dénominateurs mais j'en suis pas sûr.
Pour ensuite voir le signe de f'(x) et alors dresser un tableau de variation de f.
Mais je ne suis pas sûr de moi donc je voudrais vos conseil...

2-b -> on a montrer que pour tout x que : ln(1+t²)>x+(x²/2) et ln(1+x)
2)

2-c -> Si t² - t^4/2 < ln (1+t²) < t² alors intégrale(t² - t^4/2) < intégrale(ln (1+t²)) < intégrale(t²)
<=> -5intégrale(t²) < -5 * intégrale(ln (1+t²)) < -5intégrale(t²-t^4/2)

Donc intégrale (t²-(t^4/2) dt = [(x^3/3)-(2x^3)]entre 0 et 1/2
=>F(1/2)-F(0) = (1/24)-(1/4) = -5/24

et intégrale (t²) dt = [(x^3/3))]entre 0 et 1/2
=>F(1/2)-F(0) = 1/24

En utilisant les questions précédentes donner un encadrement d'amplitude inférieure à 0.02 de I par des nombres décimaux aynat trois chiffres aprés la virgule.

3 ->
Je n'arrive pas jusqu'au bout:
I = 5/2 * ln(5/4) - 5 intégrale de 0 à 1/2 ln(1+t²)dt
Et -5/24 < -5 intégrale de 0à 1/2 *ln (1+t²)dt < -37/192

<=> -5/24 + 5/2*ln(5/4) < -5 intégrale de 0à 1/2 ln (1+t²)dt < -37/192 + 5/2ln(5/4)

ok
donc pour la 2-a après avoir mis au meme dénominateur je trouve
f'(x) = (2x²-x^3)/4(1+x) on peut alors effectuer le tableua de variation suivant:

Code
x |-oo -1 0 3 +oo

_____________________________________________  
  

f'(x) |     -   + 0 +    -  
  

_____________________________________________  
  

f(x)  |+oo           0  
  

      | \            /\  
  

      |  \         /    \    
  

      |   \      /        \  
  

      |    \   /            \  
  

      |     \/                \ -oo  
  

      |     0  
  

_____________________________________________

f(0)=0 ; lim en-oo de f(x)=+oo et lim en +o de f(x)=-oo

et je voudrais savoir si j'ai fais des erreurs dans mes calculs et si mon tableau est juste...

on pose pour x positif ou nul:

f(x)=ln(1+x) - x + (x²/2) et g(x)= ln(1+x) - x

a) en utilisant les variations de f démontrer que f(x) > ou égal 0
En précisant de la même façon on pourrait établir que g(x) < ou égal à 0, intégralité que l'on admettra ici.
mais je ne comprend pas la fin de la question ( en bleu ). alors j'aurai besoin d'un petit peut d'aide.

pour la question 2-b je ne vois pas comment faire d'autre pour avoir un approche comme demander dans l'énoncer,

2-b) A l'aide de ce qui précède montrer que l'encadrement :

t² - (t^4/2) < ou égal à ln (1+t²) < ou égal à t² est vrai pour tout réel t.

2-b ->on pose t²=x pour obtenir l'encadrement voulu,
donc on a pour tout x que : ln(1+t²)>x+(x²/2) et ln(1+x)<x

ce qui nous donne:
x-(x²/2)<ou= ln(1+x)
Je crois que c'est tout pour le 2-b mais je n'en suis pas sur donc je voudrais juste savoir si la 2-b est fini o s'il me manque quelque chose pour la terminée.

[color=blue]et pour la 2-c
-5/24 < -5 intégrale de 0à 1/2 *ln (1+t²)dt < -37/192[/color]

je ne trouve pas mon erreur car je trouve:

2-c -> Si t² - t^4/2 < ln (1+t²) < t² alors intégrale(t² - t^4/2) < intégrale(ln (1+t²)) < intégrale(t²)
<=> -5intégrale(t²) < -5 * intégrale(ln (1+t²)) < -5intégrale(t²-t^4/2)

Donc intégrale (t²-(t^4/2) dt = [(x^3/3)-(2x^3)]entre 0 et 1/2
=>F(1/2)-F(0) = (1/24)-(1/4) =
-5/24

et intégrale (t²) dt = [(x^3/3))]entre 0 et 1/2
=>F(1/2)-F(0) =
1/24

et 1/24 est différent de (-37/192) alors si vous pouvais m'aider a trouver mon erreur qui est surement une betise de calculs.

et pour finir pour la dernière:

En utilisant les questions précédentes donner un encadrement d'amplitude inférieure à 0.02 de I par des nombres décimaux ayant trois chiffres après la virgule.

Je n'arrive pas jusqu'au bout :
I = 5/2 * ln(5/4) - 5 intégrale de 0 à 1/2 ln(1+t²)dt
Et -5/24 < -5 intégrale de 0à 1/2 *ln (1+t²)dt < -37/192

<=> -5/24 + 5/2*ln(5/4) < -5 intégrale de 0à 1/2 ln (1+t²)dt < -37/192 + 5/2ln(5/4)

et le je bloque réellement car je ne vois pas dut out comment conclure

MERCI

benja

Et dans tes expressions, si tu mettais des ( ) au bon endroit , (c'est à dire comme tu le mettrais sur une calculatrice) afin qu'on comprenne ce qui est au numérateur et au dénominateur, cela nous permettrait de t'aider de façon plus efficace !

par exemple t² - (t^4/2) c'est t² - $t^{4/2}$ ou t² - $t^4$ /2) ?

Et raycage te demandait la définition de I ! sans cette définition on ne peut pas te dire si ce que tu as fait est bon ou non !

I=∫1/2 à 0 (10t²)/(1+t²) dt
et c'est : t² - (t4/2)

Je vais jouer les ingénues ! pour moi t² - (t4/2) = t² - (2t)

car 4/2 = 2 donc pour moi (t4/2) = (4t/2) = 2t

As tu vraiment lu tous les messages que je t'ai envoyés pour qu'on puisse te comprendre :

Pour écrire plus joliment les énoncés avec des puissances, merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.

désolé mais je suis a fond dans mon exercice et j'ai fait des erreur que je suis en train d'essayer de corriger,

mais sinon I=∫$$^{1/2}$_0$ (10t²)/(1+t²) dt
et c'est : t² - $t^4$ )/2)

2-a
en dérivant f(x), la dérivée de x²/2 est x ...
Donc f'(x) = 1/(1+x) - 1 + x = x²/(1+x)

Code
x | 0 +oo

_____________________________  
  

f'(x) | 0       +      
  

_____________________________  
  

f(x)  | 0             +00  
  

      |             /   
  

      |           /  
  

      |         /  
  

      |       /  
  

      |     /  
  

      |   /   
  

      | /  
  

_____________________________

donc la fonction f est strictement croissante donc f € a [0;+00] donc f> ou = 0

2-b
on pose t²=x pour obtenir l'encadrement voulu,
donc on a pour tout x que : ln(1+x) > x+(x²/2) et ln(1+x) < x

ce qui nous donne:

x+(x²/2) > ln(1+x) < x
donc x-(x²/2) < ln(1+x) < x

x - (x²/2) < ou égal à ln (1+x) < ou égal à x est vrai pour tout réel x.

Donc t² - $t^4$ /2) < ou égal à ln (1+t²) < ou égal à t² est vrai pour tout réel t.

2-c
Si t² - $t^4$ /2 < ln (1+t²) < t² alors intégrale(t² - $t^4$ /2) < intégrale(ln (1+t²)) < intégrale(t²)
<=> -5intégrale(t²) < -5 * intégrale(ln (1+t²)) < -5intégrale(t² $t^4$ )/2))

Donc intégrale (t² $t^4$ )/2) dt = $[((x$ ^3 $3)-((x^5$ /10))]entre 0 et 1/2
=>F(1/2)-F(0) = (1/24)-(1/320) = 37/960

et intégrale (t²) dt = $x^3$ /3)]entre 0 et 1/2
=>F(1/2)-F(0) = 1/24

et la je ne trouve toujours pas ce qui faut trouver ???
je dois toujours faire des erreurs de calculs mais je n'arrive pas a les trouver...

3->
-5/24 + 5/2ln(5/4) < -5 intégrale de 0à 1/2 ln (1+t²)dt < -37/192 + 5/2ln(5/4)
<=> -5/24 + 5/2ln(5/4) < I < -37/192 + 5/2*ln(5/4)

-> approximation de -5/24 + 5/2ln(5/4) = 0.349 et de -37/192 + 5/2ln(5/4) = 0.365

Donc 0.349 < I < 0.365
c'est ça???