Démontrer des égalités à l'aide du produit scalaire

Bonjour voilà j'ai cet exercice pour jeudi et je n'ai réussi que la question 1 des questions préliminaires(je dois être nulle,je pense !) :

Questions préliminaires (à utiliser dans la suite)

Soit J le milieu d'un segment [KL]. Montrer que pour tout point M on a MK. ML = MJ²-LJ²
Soit U, V deux points fixes et k un nombre réel. Montrer que l'ensemble des points M tels que
UM.UV=k est la droite passant par le point T de (UV) tel que UT = k/UV et perpendiculaire à (UV) .

Exercice

Soit (C) un cercle de centre 0 et de rayon R. M un point quelconque. Un droite (d) passant par M coupent le cercle (C) en A et A', E est le symétrique de A par rapport à O. Faire une figure soignée (assez grande).

Montrer que MA.MA’ =MA.ME puisque MA.ME= OM²-R²
En déduire que MA.MA' ne dépend pas de la position de la droite (AA'). Ce nombre est appelé puissance du point M par rapport à (C) et noté PC(M)
Etudier en fonction de la position de M le signe de Pc (M).

4)Soit (C') un autre cercle de centre O' de rayon R' .On cherche l'ensemble des points M qui ont la même puissance par rapport aux deux cercles .

a) Montrer que Pc (M) = Pc (M) si seulement si IM.IO = 1/4(R² -R'2) où I est le milieu de [OO'].
b) Construire cet ensemble quand les deux cercles sont sécants en A et B
c) Construire cet ensemble quand R=2 ; R'=4 et OO'=8.
Ces constructions doivent naturellement être justifiées.

Pourriez vous m'aider svp ? Merci d'avance

Bonjour,

Qu'as-tu réussi à faire ?

Je suppose que MK. ML est en fait $mk⃗,.,ml⃗\vec {mk} ,., \vec {ml}$

et avec $mk⃗,=,mj⃗,+,jk⃗\vec {mk} ,=, \vec {mj} ,+,\vec {jk}$

et $ml⃗,=,mj⃗,+,jl⃗\vec {ml} ,=, \vec {mj} ,+,\vec {jl}$

alors $mk⃗,.,ml⃗,=,(mj⃗,+,jl⃗),.,(mj⃗,+,jk⃗)\vec {mk} ,., \vec {ml},=, ( \vec {mj} ,+,\vec {jl}) ,.,(\vec {mj} ,+,\vec {jk})$

Et en utilisant le fait que J est le milieu de [KL] que trouves tu ?

oui,cette question j'ai réussi et je trouve MJ²-LJ²

je suis désolé ,je n'ai pas mis les vecteurs mais je ne sais pas comment faire.

Et si tu nous précisais ce que tu as trouvé et ce que tu ne sais pas faire, cela nous éviterait de travailler pour rien.

P.S. Je suis du genre flemmarde et la travail inutile je n'apprécie pas beaucoup !

je l'ai mis en tout en haut de mon sujet,je n'ai réussi que la 1° question et le reste je ne sais pas comment faire ,je ne sais pas comment commencer.

Salut nanoch,

En général en maths la réponse à une question aide à répondre à la question suivante... Ici, pour traiter la question 2, il serait judicieux de se ramener à la même situation qu'à la question 1, où on avait un segment et son milieu, une relation de Chasles bien choisie pour l'un des facteurs de produit scalaire pourrait aider...