Problème en lien avec suites .

Bonjour.
J'ai trouvé un exercice avec des suites cependant je n'arrive ni à le résoudre ni même à comprendre l'énoncé, je vous le donne ci dessous si vous arriver à décrypter l'énoncé je suis preneuse.
voili voilou.
adher01

1-Démontrer que pour tout n ε $mathbb{N}$ *: $∑k=1nk2\sum_{k=1}^{n} {k^2}$ = $n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .
2-Soit (un)la suite définie sur $mathbb{N}$ par $u_0$ =0 et $u$ {n+1} $u_n$ +n
a-démontrer par récurence, que pour tout n ≥2: $u_n$ = $(n2){n\choose 2}$ .
b-exprimer, en fonction de n, la somme : $S_n$ = $∑k=0nuk\sum{k=0}^{n} {u_{k}}$ .

Salut adher01,

Qu'est-ce que tu ne comprends pas exactement dans l'énoncé ?

Le 1 se fait par récurrence. Le a) du 2 également. Pour le b) du 2 il faut s'aider d'une formule célèbre...

Bonjour en faite c'est le 1 que je ne comprend pas car je ne voit pas comment faire sans aucunes expression de la suite..ce que je veux par la c('est que on a aucune formule pour la suite $U_n$ .on a que la forme à obtenir. Je ne crois pas que je suis très claire désolé.
adher01

calculer $,∑k=1k=n,k2\text{ a, = ,} \sum_{k=1}^{k=n}, {k^{2}}$ c'est calculer la somme des ${k^{2}}$ en faisant varier k de la valeur 1 à la valeur n

C'est à dire que $,+,n2\text{ a, =, } 1^2, +, 2^2 ,+ ,3^2 ,+, \text{ ..... } ,+, n^2$

Donc si je comprend bien l'expression de k est n²?

Dans l'expression $,∑k=1k=n,k2\text{ a, = ,} \sum_{k=1}^{k=n}, {k^{2}}$

k = 1 et k = n signifient que k varie de la valeur 1 à la valeur n ;

donc k vaut 1 puis 2 puis 3 puis .... jusqu'à n

et $∑k=1k=n,k2\sum_{k=1}^{k=n}, {k^{2}}$ signifie qu'on fait la somme des carrés de k pour le valeurs ci-dessus.

Donc A = $1^2$ + $2^2$ + $3^2$ + ...... + $n^2$

LA récurrence est une bonne méthode de démonstration.

On vérifie que pour n = 1, la relation est vérifiée.

On suppose que c'est vrai au rang n . Et on cherche à démontrer que c'est vrai au rang n+1

Non, k est une variable muette que l'on fait varier de 1 à n.

Je prends un autre exemple. Tu as déjà dû voir ce que faisait la somme des termes d'une suite arithmétique, par exemple si je prends la suite $U_n$ =n et que je te demande de calculer $U$ 0 $U_1$ +... $U_n$ que me répondrais-tu ?
Et bien $U$ 0 $U_1$ +... $U_n$ = $∑k=1k=n,uk\sum{k=1}^{k=n}, {u{k}}$ = $∑k=1k=n,k\sum_{k=1}^{k=n}, {k}$

Pour ta question c'est le même principe, si tu veux tu peux noter $V_n$ =n² et ce que tu cherches à montrer c'est que la somme des termes de cette suite est égale à $n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ , donc que $V$ _0 $V_1$ +... $V_n$ = $n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ .

Est-ce plus clair ?

la somme d'une suite arithmétique donne: $n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}$ .

Ceci est très mal dit ....

La somme des n premiers entiers est égale au nombre que tu as écrit.

La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique $U_n$ ) de premier terme $U_0$ et de raison r est

$sn,=,∑p=1p=n,ups_n, =,\sum_{p=1}^{p=n} , {u_{p}}$

$s_n, =,u_{0}, +,u_{1}, +,u_{2}, +, ..... +, u_{n}$

Or $u_1,=,u_0,+,1r$

Or $u_2,=,u_0,+,2r$
....

Or $u_n,=,u_0,+,nr$

DOnc $s_n,=,u_0,+,u_0,+,1r,+,u_0,+,2r ,+,..... ,+,u_0,+,nr$

Il reste à compter combien il y a de $U_0$

Et dans 1r + 2r + 3r + ...... = r (1 + 2 + 3 + .... + n ) = .....