Problème en lien avec suites .



  • Bonjour.
    J'ai trouvé un exercice avec des suites cependant je n'arrive ni à le résoudre ni même à comprendre l'énoncé, je vous le donne ci dessous si vous arriver à décrypter l'énoncé je suis preneuse. 😉
    voili voilou.
    adher01 😉

    1-Démontrer que pour tout n εmathbbNmathbb{N}*: k=1nk2\sum_{k=1}^{n} {k^2}=n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
    2-Soit (un)la suite définie sur mathbbNmathbb{N} par u0u_0=0 et uu{n+1}=un=u_n+n
    a-démontrer par récurence, que pour tout n ≥2: unu_n=(n2){n\choose 2}.
    b-exprimer, en fonction de n, la somme : SnS_n=</em>k=0nuk\sum</em>{k=0}^{n} {u_{k}}.


  • Modérateurs

    Salut adher01,

    Qu'est-ce que tu ne comprends pas exactement dans l'énoncé ?

    Le 1 se fait par récurrence. Le a) du 2 également. Pour le b) du 2 il faut s'aider d'une formule célèbre...



  • Bonjour en faite c'est le 1 que je ne comprend pas car je ne voit pas comment faire sans aucunes expression de la suite..ce que je veux par la c('est que on a aucune formule pour la suite UnU_n.on a que la forme à obtenir. Je ne crois pas que je suis très claire désolé.
    adher01 😉



  • calculer  a, = ,k=1k=n,k2\text{ a, = ,} \sum_{k=1}^{k=n}, {k^{2}} c'est calculer la somme des k2{k^{2}} en faisant varier k de la valeur 1 à la valeur n

    C'est à dire que  a, =, 12,+,22,+,32,+, ..... ,+,n2\text{ a, =, } 1^2, +, 2^2 ,+ ,3^2 ,+, \text{ ..... } ,+, n^2



  • Donc si je comprend bien l'expression de k est n²?



  • Dans l'expression  a, = ,k=1k=n,k2\text{ a, = ,} \sum_{k=1}^{k=n}, {k^{2}}

    k = 1 et k = n signifient que k varie de la valeur 1 à la valeur n ;

    donc k vaut 1 puis 2 puis 3 puis .... jusqu'à n

    et k=1k=n,k2\sum_{k=1}^{k=n}, {k^{2}} signifie qu'on fait la somme des carrés de k pour le valeurs ci-dessus.

    Donc A = 121^2 + 222^2 + 323^2 + ...... + n2n^2

    LA récurrence est une bonne méthode de démonstration.

    On vérifie que pour n = 1, la relation est vérifiée.

    On suppose que c'est vrai au rang n . Et on cherche à démontrer que c'est vrai au rang n+1


  • Modérateurs

    Non, k est une variable muette que l'on fait varier de 1 à n.

    Je prends un autre exemple. Tu as déjà dû voir ce que faisait la somme des termes d'une suite arithmétique, par exemple si je prends la suite UnU_n=n et que je te demande de calculer UU0+U1+U_1+...+Un+U_n que me répondrais-tu ?
    Et bien UU0+U1+U_1+...+Un+U_n=</em>k=1k=n,u</em>k\sum</em>{k=1}^{k=n}, {u</em>{k}} = k=1k=n,k\sum_{k=1}^{k=n}, {k}

    Pour ta question c'est le même principe, si tu veux tu peux noter VnV_n=n² et ce que tu cherches à montrer c'est que la somme des termes de cette suite est égale à n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, donc que VV_0+V1+V_1+...+Vn+V_n=n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

    Est-ce plus clair ?



  • la somme d'une suite arithmétique donne: n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}.



  • Ceci est très mal dit ....

    La somme des n premiers entiers est égale au nombre que tu as écrit.

    La somme des n premiers termes d'une suite arithmétique (Un(U_n) de premier terme U0U_0 et de raison r est

    sn,=,p=1p=n,ups_n, =,\sum_{p=1}^{p=n} , {u_{p}}

    sn,=,u0,+,u1,+,u2,+,.....+,uns_n, =,u_{0}, +,u_{1}, +,u_{2}, +, ..... +, u_{n}

    Or u1,=,u0,+,1ru_1,=,u_0,+,1r

    Or u2,=,u0,+,2ru_2,=,u_0,+,2r
    ....

    Or un,=,u0,+,nru_n,=,u_0,+,nr

    DOnc sn,=,u0,+,u0,+,1r,+,u0,+,2r,+,.....,+,u0,+,nrs_n,=,u_0,+,u_0,+,1r,+,u_0,+,2r ,+,..... ,+,u_0,+,nr

    Il reste à compter combien il y a de U0U_0

    Et dans 1r + 2r + 3r + ...... = r (1 + 2 + 3 + .... + n ) = .....


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