Equation diophantienne et géométrie dans l'espace



  • Bonjour,
    J'ai un dm de spé à faire pour la rentrée, le début est simple et à la fin je n'y arrive pas !

    Le but de cet exercice est d'utiliser les solutions d'une équation à 2inconnues entières pour résoudre un problème dans l'espace.
    1.a. Déterminer un couple (x0;y0) d'entiers relatifs solution de l'équation (E): 48x+35y=1.
    b. Déduire de a. tous les couples d'entiers relatifs (x;y) solution de cette équation.

    1. L'espace étant rapporté à un repère orthonormal, on donne le vecteur u (48;35;24) et le point A (-11;35;-13).
      a. Préciser la nature et donner une équation cartésienne de l'ensemble (π) des points M de l'espace, de coordonnées (x;y;z) tels que vecteur u scalaire vecteur AM = 0.
      b. Soit (D) la droite intersection de (π) avec le plan d'équation z=16.
      Déterminer tous les points de (D) dont les coordonées sont entières et appartiennent à l'intervalle [-100;100].
      En déduire les coordonnées du point de (D), à coordonnées entières situé le plus préès de l'origine.

    Alors au 1.a j'ai trouvé (x0;y0) = (-8;11) avec l'algorithme d'Euclide.

    b. On a 48x+35y = 1 et 48x0 +35yo = 1
    Donc 48x-48x0 = 35yo - 35y
    Donc 48 (x-x0) = 35(y0-y)

    Avec le Théorème de Gauss, je trouve que y0 - y = 48k donc que y = y0 - 48k

    Donc 48 (x-x0) = 35 (y0-y)
    48( x-x0) = 35 * 48 k
    Donc que x = x0 + 35k

    Avec la réciproque, je trouve que les solutions sont du type:
    (-8+35k ; 11-48k) avec k ∈ mathbbZmathbb{Z}.

    1. a. vecteur AM (x+11 ; y-13 ; z+13)
      u scalaire AM = 48x +35y + 24 z -385
      Comme u scalaire AM = 0 donc 48x+35y+24z = 385
      Voilà après je ne sais pas quoi faire.

    b. En remplacant z par 16, je trouve 48x+35y = 1 c'est (E) mais je ne sais pas comment faire pour répondre à la question. Un encadrement mais je ne sais de quoi.


  • Modérateurs

    Salut rose,

    Pour la question 1 c'est ok.

    Pour la question 2a tu as la réponse il ne te reste plus qu'à reconnaître quel est l'objet représenté par l'équation 48x+35y+24z = 385...

    Pour la question 2b, les points de D dont les coordonnées sont entières correspondent aux valeurs entières de x et de y telles que 48x+35y = 1 comme tu l'as trouvé. Or les couples solutions de cette équation à valeurs entières tu les as déterminés en question 1.
    Il ne te reste plus qu'à calculer la distance entre l'un quelconque de ces points et l'origine et à voir quand est-ce que cette distance sera la plus petite.



  • Merci
    Donc pour 2a, l'équation représente une droite non ? Enfin je ne vois que ça à moins que ca soit un plan.
    Sinon pour la 2b comment je fais pour déterminer les points de (D) de coordonnées entières compris entre [-100;100] ???
    Tu pourrais me donner un exemple de calcul à faire car je ne saisis pas trop le fonctionnement, stp ?
    Merci


  • Modérateurs

    Il est bon de savoir que lorsqu'on a une équation sur les trois variables x, y, z on a un plan (la relation ne faisant pas intervenir forcément les trois variables : z=0 est aussi un plan par exemple).

    Citation
    Sinon pour la 2b comment je fais pour déterminer les points de (D) de coordonnées entières compris entre [-100;100]

    Il faut déjà trouver les points de (D) à coordonnées entières, après on verra pour l'intervalle. Et ces coordonnées correspondent aux solutions entières de l'équation 48x+35y = 1. (A noter que ceci est une équation de plan dans l'espace, mais une équation de droite dans le plan z=16).



  • OK mais les solutions entieres de 48x+35y=1 sont du type (-8+35k ; 11-48k), ya pas d'encadrement à faire ? Parce il faut que je trouve k pour que ca fasse des coordonnées entieres.



  • -100≤-8+35k≤100 ET -100≤11-48k≤100
    -92≤35k≤108 ET -111≤-48k≤89
    -(92÷35)≤k≤(108÷35) ET -89≤48k≤111
    -2.62≤k≤3.08 ET -(89÷48)≤k≤(111÷48)
    ET -1.8≤k≤2.3

    d'où -1.8≤k≤2.3
    les entiers k qui conviennent sont -1;0;1;2
    Le plus proche de l'origine est pour k=0 ou le point est (-8;11)


  • Modérateurs

    Bah (-8+35k ; 11-48k) sont des coordonnées entières pour tout k appartenant à mathbbZmathbb{Z}.
    Maintenant il faut que tu détermines pour quel(s) k ces coordonnées sont comprises entre -100 et 100 et tu auras répondu à la question.


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