Comment calculer la primitive d'une fonction exponentielle



  • Bonjour,

    Comment calculer la primitive de e^2x?

    Merci


  • Modérateurs

    Salut.

    Tu ne dois pas avoir vu les dérivées de composées de fonction j'imagine. Ca complique un peu la tâche dans ce cas là.

    Mais vu que c'est une exponentielle il y a moyen de trouver une petite astuce : commence par dériver f(x)=exp(2x) ; puis réfléchit un peu où ça pourrait nous mener (écrit f'(x) en fonction de f(x)). 😄

    Indice : primitive des deux côtés de ton équation.

    @+



  • Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
    On appelle primitive toute fonction F dérivable sur I tel que F' = f

    Soit la fonction exp(2x) définie sur R.
    On souhaite trouver une fonction dont la dérivée soit égale à exp(2x).

    On calcule la dérivée de exp(2x) noté aussi e^2x.
    Ce qui nous donne:
    (e^2x)' = 2e^2x

    donc on a f = e^2x et F' = 2e^2x

    (A ce stade, on a la primitive e^2x de 2e^2x , mais nous on cherche la primitive de e^2x.)

    Et pour avoir F à partir de f = F' : e^2x = (e^2x) / 2 = (1/2) × (e^2x)

    Nous venons de déterminer la primitive (e^2x) / 2 de la fonction exp(2x).En effet, la dérivée de la fonction (e^2x) / 2 est égale à exp(2x).

    Mais sous quelle forme est la fonction composée ?

    Et si on veut trouver la primitive de 2 avec l'égalité (e^2x)' = 2e^2x comme pour la primitive e^2x? 2 = e^2x /e^2x , c'est pas le bon résultat.


  • Modérateurs

    Salut.

    Citation
    On calcule la dérivée de exp(2x) noté aussi e^2x.

    Non, notée e^(2x), ou encore avec la balise exposant accessible sous le cadre où on écrit le message, e2xe^{2x}.

    Citation
    Et pour avoir F à partir de f = F' : e^2x = (e^2x) / 2 = (1/2) × (e^2x)

    Je n'ai rien compris à cette ligne : "e^2x = (e^2x) / 2" ? C'est pour ça que je suis passé à la notation f, parce que avec des exponentielles partout on ne voit plus rien, surtout ce que j'essaie de te faire remarquer. 😄

    Tu as trouvé la solution, mais je n'ai pas compris ton raisonnement vu que ton équation est fausse. Mais j'ai l'impression en déchiffrant plus ou moins que tu as fait ce que j'attendais. Je le récris plus simplement, sans tout le blabla inutile.

    f(x)=exp(2x)

    Donc f'(x)=2exp(2x)=2f(x), ce qui nous fournit ce que l'on appelle une équation différentielle, mais peu importe son nom :

    f(x)=f'(x)/2

    Soit F une primitive de f, alors F'(x)=f(x). On peut donc récrire l'équation précédente :

    F'(x)=f'(x)/2

    En l'intégrant, on obtient (sans oublier la constante d'intégration, vu que c'est une primitive) :

    F(x)=f(x)/2+k=exp(2x)/2+k

    Citation
    Mais sous quelle forme est la fonction composée ?

    Par exemple f=goh avec g(x)=exp(x) et h(x)=2x, ou encore g(x)=x² et h(x)=exp(x), il y a plusieurs façons de la voir.

    La dérivée d'une composée : f'(x)=h'(x)*g'(h(x)). On peut faire apparaitre assez simplement la dérivée d'une composée dans f ici, et donc obtenir F.

    Citation
    Et si on veut trouver la primitive avec l'égalité (e^2x)' = 2e^2x comme pour la primitive e^2x?

    Un edit de dernière minute, la solution est au début de ce post, ce qui signifie que tu n'avais pas vu ce que j'espérais que tu voies. 😄

    Citation
    2 = e^2x /e^2x , c'est pas le bon résultat.

    Arrête d'éditer, je n'arriverai jamais à poster. :razz:
    Ben oui, tu es parti de (e^2x)' = 2e^2x. Où est passé ton (...)' ? C'est 2 = (e^2x)' /e^2x.

    @+


  • Modérateurs

    Salut,

    cedric111 tu es bien en terminale n'est-ce-pas ?



  • Thierry
    Salut,

    cedric111 tu es bien en terminale n'est-ce-pas ?

    Salut,

    Non, mon objectif est de me mettre à niveau pour me présenter au daeu b, le niveau étant celui de terminale.



  • Je pense avoir compris, mais cette méthode est juste valable pour connaître une primitive d'une expression contenant la fonction exponentielle?Pour les autres primitives elle ne fonctionne pas. :rolling_eyes:


  • Modérateurs

    Salut.

    Bien, alors niveau TS la méthode serait :

    On "reconnait" la dérivée d'une composée à un facteur près :

    f(x)=exp(2x)=2*exp(2x)/2=h'(x)*g(h(x))/2, avec h(x)=2x et g(x)=exp(x).

    Donc les primitives de f sont de la forme g(h(x))/2+k.

    En général il faut avoir le coup d'œil et bien connaitre la dérivée d'une composée dans ce cas là.

    Peut-être le vois-tu mieux de l'autre manière : f(x)=ef(x)=e^{2x}=(ex=(e^x)².

    g(x)=x², que tu sais primitiver.

    Si tu veux savoir démontrer ce genre de chose de manière encore plus générale, il va falloir intégrer de 0 à x ta fonction f, et effectuer des changements de variables pour te ramener à une intégrale connue.

    Tu conviendras qu'en terminale on ne te demande pas de faire cette dernière démonstration, et donc qu'il est impératif d'avoir le coup d'œil quand on est face à une composée. Bref, il faut s'entrainer à en dériver et à en primitiver. 😄

    @+


  • Modérateurs

    cedric111

    (e^2x)' = 2e^2x

    donc on a f = e^2x et F' = 2e^2x

    (A ce stade, on a la primitive e^2x de 2e^2x , mais nous on cherche la primitive de e^2x.)

    Et pour avoir F à partir de f = F' : e^2x = (e^2x) / 2 = (1/2) × (e^2x)

    Nous venons de déterminer la primitive (e^2x) / 2 de la fonction exp(2x).En effet, la dérivée de la fonction (e^2x) / 2 est égale à exp(2x).
    Oui ta primitive est juste et ta méthode est bonne.

    Pour généraliser la méthode "terminale S", on sait que la primitive de u'.eue^u est eue^u (u étant une fonction). Mais dans ce cas il faut faire apparaître le u'. Personnellement, j'écris d'abord f(x)=1/2 * 2.e2xe^{2x} de manière à faire apparaître une fonction de la forme k.u'eue^u, k étant un réel.

    La méthode consistant à rajouter une constante multiplicative marche particulièrement bien avec les compositions v o u quand u est une fonction affine. Ainsi, tu peux éventuellement apprendre par coeur une primitive de eax+be^{ax+b} qui est 1/a.eax+be^{ax+b}.

    cedric111

    Mais sous quelle forme est la fonction composée ?

    Je ne sais pas si j'ai répondu à ta question ...

    (sujet déplacé dans le forum Terminale)



  • oki merci pour votre aide 😁


 

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