calcul d'aire

[alex57100]

Bonjour,

J'aimerais calculer l'air d'une toupie dont la partie supérieure est contenue entre la courbe d'équation f(x)=x²e^(-x) et les droite d'équations x=0 et x=6.
Quant à la partir inférieure, elle est contenue entre la courbe d'équation g(x)=-x²e^(-x) et les droite d'équations x=0 et x=6.

J'utilise donc une intégrale.

${=}_0$∫${}^6$f(x)+g(x) dx
${=}_0$∫${}^6$2x²e^(-x) dx
$=2_0$∫${}^6$x²e^(-x) dx

Ensuite je n'y arrive plus, pouvez vous m'aider svp ?

Salutations

[kanial]

Salut alex,

deux méthodes possibles :

_intégrer deux fois par parties (chaque intégration par partie te fera baisser l'exposant sur le x de 1).

_chercher une primitive de x²$\ast e^{-x}$ du type (ax²$+bx+c)\ast e^{-x}$ (quand tu as une exponentielle multipliée par une expression polynômiale, tu peux trouver une primitive du type : la même exponenielle multiiplié par un polynôme de même degré, c'est-à-dire où l'exposant le plus élevé pour x est le même).

Je pense que tu n'es pas censé connaître la deuxième méthode mais elle est souvent plus efficace que la première. Je te conseille ici d'essayer les deux méthodes pour t'entraîneret pour comparer.

n'hésite pas à demander s'il y a quelquechose que tu ne comprends pas.

[alex57100]

je trouve au final une aire négative de -46*e^(-6) - 2
c'est pas possible...

[kanial]

Non effectivement, tu peux détailler ton calcul que l'on voit où est l'erreur ?

[alex57100]

$=2_0$∫${}^6$x²*e^(-x) dx

u(x)=x² u'(x) =2x
v'(x) =e^(-x) v(x)=-e^(-x)

= (-x²$e^{(}-x))$_0$^{6 $}$+2_0$∫${}^6$x*e^(-x)

Integration par partie de ${}_0$∫${}^6$x*e^(-x)
w(x)=x w'(x)=1
z'(x)=e^(-x) z(x) = -e^(-x)

= $(-x<em>e^{(}-x))$_0$^{6 $}${+}_0$∫${}^6$e^(-x)
=-6e^(-6) + e^(-6) - 1
=-5*e^(-6)-1

En revenant a la première intégration...

= -36e^(-6) + 2(-5e^(-6)-1)
= -36e^(-6) - 10e^(-6)-2
= -46*e^(-6) - 2

[kanial]

Une seule petite erreur : le calcul de ${\int }_0^6{e}^{-x},\text{d}x$
Tu as également oublié partout les dx...

[alex57100]

ok pour les dx,

mais je ne vois pas où l'erreur indiquée, pouvez vous éclaircir svp

[kanial]

quelle forme a une primitive de :x->$e^{-x}$ ?

[alex57100]

ah oui ^^ je corrige ca et je vous donnerais mon résultat

[alex57100]

je trouve -50*e(-6) + 2 et vous ?

[kanial]

pour l'intégrale de $x$^2$e^{-x}$ je suis d'accord le résultat est $-50\ast e^{(-6)}$ + 2, mais il te reste à multiplier ça par 2 pour avoir l'aire totale...

[alex57100]

effectivement j'allais l'oublier...

Je conclue donc ce topic avec la réponse suivante -100*e^(-6) + 4
en espérant ne pas me tromper

merci pour ton aide raycage

Bonne fin de journée.