devoir geometrie

[laura73]

bonjour a tous, je commence mes revisions car je passe en 1°S, je bloque sur un exercice de geometrie dont voici l'énoncé :

ABC est un triangle quelconque, B' étant le milieu de [AC]. D est le point tel que
→ →
BD = 1/3 BC . Les paralleles à (AB) et (AC) passant par D coupent respectivement (AC) et (AB) en M et N .

Montrez que les droites (MN) et (BB') sont parallèles.

je voudrais avoir de l'aide ou des pistes pour mieux me guider pour resoudre ce probleme. merci d'avance

[kanial]

Salut laura,

le mieux est de travailler sur les vecteurs de manière à montrer que $M{N}^{\to }$ et B'$B^{\to }$ sont colinéaires.
Pour ce faire, le plus pratique, je pense est que tu essaies d'exprimer B'$B^{\to }$ en fonction de $A{B}^{\to }$ et de $B{C}^{\to }$ (fais un dessin, cela pourra beaucoup t'aider), puis d'exprimer MN en fonction de $A{B}^{\to }$ et de $B{C}^{\to }$.
Tu n'auras plus alors qu'à montré leur colinéarité...

[laura73]

merci beaucoup je vais suivre ton conseil je pense que cela me m'aideras

merci, bonne journée

[laura73]

mais comment je peux exprimer le vecteur BB' ? je n'est aucunes valeurs pour les vecteurs

[kanial]

Tu sais que B' est le milieu de [AC], ce qui peut se traduire par des relations vectorielles...

[laura73]

autrement j'ai fait un calcul avec les vecteurs et thales, NM=NA+AM et a la fin je trouve 2/3BB' !!! ??

je ne sais pas si c'est le bon resultat mais dans l'ensemble j'ai compris la demarche a suivre
merci

[kanial]

Thalès dans quels triangles ? Tu n'as pas de droites parallèles a priori...

[laura73]

a... mince j'avai oublier ^^

[harry_potter]

salut laura73,
il faut être attentif aux deux droites parallèles.le parallélisme signifie thalès, ça il faut l'apprendre.et il faut savoir aussi que la vevteur est la plus solide de la géométrie.
de toute façon, en appliquant la relation vectorielle de thalès dans le triangle abc en travaillant avec (dm) // (ab) , on aura
→ → → → → →
cd=2/3 cb ; cm=2/3 ca; et md=2/3 ab ;
en l'appliquant cette fois ci dans le même triangle mais en travaillant avec (dn)//(ac) ; on aura
→ → → → → →
bd=1/3 bc; bn=1/3 ba; et nd=1/3 ac ;
or (amdn) est un parallèlogramme, donc
→ → →
mn=md+ ma
→ →
=2/3 ab + (-nd)
→ →
=2/3 ab - 1/3 ac
→ → →
=2/3 ab -1/3 (ab+bc)
→ →
=1/3 ab +1/3 cb
→ →
= (-1/3) (ba+ bc)
→
= (-2/3) bb'
→ →
d'ou mn=(-2/3) bb'
c'est qui traduit bien le parallélisme de (bb') et (mn).
remarque
on a:
b' est le milieu de [ac] alors
→ → →
ba + bc = 2bb' ( conséquence de la propriété du parrallèlogramme )

[laura73]

merci beaucoup harry potter je vais retravailler ce exercices avec tes reponses je pense que sa m'aideras a y voir plus claire

[LeBoulet]

excusé moi, mais je ne comprend pas la démarche entre l'avant dernière et la dernière ligne. Franchement, il y a beaucoup plus simple.
Si on fait Thales avec [ac] // [nd], sait que nd/ac=bn/ba=bd/bc=1/3 car bd=1/3bc. On en déduit donc toujours grace à thales que bn=1/3ba.
Ensuite, on sait que grace à [ab] // [md]. On a donc md/ab=cm/ca=cd/cb, d'où cd=2/3cb (toujours avec l'énoncé: bd=1/3bc)
Après, on peut trouver facilement mb. b' étant le milieu de [ac], on sait que bc=1/2ac.
mb=mc-cb
mb=2/3ac-1/2ac
mb=1/6ac
m ∈ a ab', et ab'=1/2ac
mb=1/3ab'

avec ces deux formules, on peut utiliser la réciproque de thales dans le triangle abb' ( mb= 1/3ab' et bn=1/3ba
am/ab=an/ab=mn/b'b=1/3
Et voilà.

[harry_potter]

salut mickl1722 ,
j'ai ajouté une explication à ma résolution de l'éxercice.je souhaite qu'elle est comprise maintenant.

[laura73]

merci a tous pour votre aide, j'ai pu refaire cet exercice plus facilement et surtout je l'ai mieux compris !
merci encore