Réaliser l'étude complète d'une fonction exponentielle

Soit f la fonction définie sur R par f(x)= exp(x)/ (exp(x)+1) et C sa courbe représentative.

Justifier que, pour x appartenant $mathbb{R}$ , f(x)= 1/(1+exp(-x)).
Calculer les limites de f en +∞ et en -∞, et interpréter graphiquement.
Etudier les variations de f et tracer C.
Prouver que I(0;1/2) est centre de symétrie de C.
Déterminer une équation de la tangente T à C en I.
Pour x appartenant $mathbb{R}$ , on pose φ(x)= 1/4x+1/2-f(x).
a)Prouver que φ'(x)= (exp(x)-1)²/(4(exp(x)+1))².
b)Donner le sens de variation de φ.
c)Calculer φ(0) et en déduire le signe de φ(x).
Quelle interprétation graphique du signe de peut-on donner à l'aide de C et T ?

Voici l'énoncé d'un exercice sur l'études de fonctions dont j'ai un peu de mal à faire et que je souhaite avoir un peu d'aide
Merci d'avance .

Personne ne peut m'aider ?

Pour la 1, la fonction f est une composée de fonction définie sur R
La fonction exponentiel, la fonction affine, sauf la fonction inverse, qui est définie sur ]-8;0[u]0+8[

Ok j'ai réussit à trouver la question une mais pour la 2 je doit faire quoi quand il demande interpréter graphiquement ??

Il faut le faire analytiquement.
Tu dois savoir que lim(exp(x))=+8 lorque x tend vers +8,
et que lim(exp(x))=0 lorsque x tend vers -8.
A partir de ça, tu peut trouver la réponse.
Une autre petite aide, lorsque x tend vers +8 la limite vaut 1.
lorsque x tend vers -8, la limite vaut 0. ensuite on peut interpréter graphiquement avec les asymptote.
J'espère que ça t'aideras.

Mais pourquoi elle est définie sur ]-8;0[u]0+8[
alors que dans l'énoncé il ya marqué pour x appartenant à R ??

la fonction inverse, 1/x, est une fonction définie sur ]-8;0[u]0+8[
mais la fonction f, elle est définie sur R. Mais souvient toi que s'est une composé de fonctions

heu peux-tu faire la courbe car je pense pas avoir la même que toi ?

qu'elle fonction as tu tracé sur ta calculette.
f ou 1/x

f(x)= 1/(1+exp(-x)).

celle ci, ele est définie sur R

Pour cette question Etudier les variations de f et tracer C
quelle est la solution croissant sur R ?

pour étudier les variations, il faut étudier le signe de la dérivée.
Il faut donc que tu dérives la fonction f. Et en étudiant le signe de cette fonction, tu pourra connaître le sens de variation de la fonction f.
Lorsque le signe de la dérivé est négatif sur un intervalle I, alors la fonction f est décroissante sur l'intervalle I. Et inversement lorsque la dérivé est négative.
Encore une chose: la dérivé de la fonction exponentiel est u'exp(u)

la dérivé de f est exp(-x)/(1+exp(-x))² ?

(1+exp(-x))'=0-exp-x
Tu as oublié le signedu numérateur

Heu je n'ai pas compris quelle est la dérivé de f(x) ?

exp(-x)/(1+exp(-x))²

Ok et comment a partir de cela je peux etudier les variations ?

c'est facile. la fonction exp(x) est strctement positive sur R, et un carré est toujour posistif

et on etudie pas pour f(x) ?

non le but de la dérivation , s'est avant tout de trouver le sens de la fonction en étudiant le signe de la dérivé

alors, qu'estce que tu trouve ?

ok alors pour la question 4 je ssuis complétement perdu donc tu peux me faire un ptit détail de ce que je dois faire ?