Donner une expression simplifier de la somme des termes d'une suite géométrique



  • bonjour je dois démontrer que pour tout n1n\geq1

    Soit Sn=1102+1103+...+110n+1=190(1110n)\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+...+\frac{1}{10^{n+1}}=\frac{1}{90}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)

    j'ai utiliser la récurrence et je dois démontrer que p(n+1):sn+1=190(1110n+1)p(n+1):s_{n+1}=\frac{1}{90}\left(1-\frac{1}{10^{n+1}}\right)

    j'ai donc dit que sn+1=sn+110n+2s_{n+1}=s_{n}+\frac{1}{10^{n+2}}
    sn+1=190(1110n)+110n+2s_{n+1}=\frac{1}{90}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)+\frac{1}{10^{n+2}}

    mais après je suis bloquée si qqn pouvais m'aider se serait sympa 😃
    Merci



  • salut

    $s_{n+1}=\frac{1}{90}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)+\frac{1}{10^{n+2}} \ = \frac1{90} - \frac{1}{90\times10^n} + \frac{1}{10^{n+2}} \= \frac1{90} - \frac{10}{9\times10^{n+2}} + \frac{9}{9\times10^{n+2}}$

    à toi de finir.



  • sn+1=19019×10n+2s_{n+1}=\frac{1}{90}-\frac{1}{9\times10^{n+2}}

    D'où sn+1=190(1110n+1)s_{n+1}=\frac{1}{90}\left(1-\frac{1}{10^{n+1}}\right)

    C'est ça ?
    Merci pour ton aide Zauctore 😃



  • Oui c'est juste !

    Tu aurais pu aussi remarquer que Sn est la somme d'une suite géométrique, ce qui te donnait directement le résultat.


 

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