Donner une expression simplifier de la somme des termes d'une suite géométrique

[c0quelik0]

bonjour je dois démontrer que pour tout $n\ge 1$

Soit Sn=$\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+...+\frac{1}{10^{n+1}}=\frac{1}{90}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)$

j'ai utiliser la récurrence et je dois démontrer que $p(n+1):s_{n+1}=\frac{1}{90}\left(1-\frac{1}{10^{n+1}}\right)$

j'ai donc dit que $s_{n+1}=s_n+\frac{1}{10^{n+2}}$
$s_{n+1}=\frac{1}{90}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)+\frac{1}{10^{n+2}}$

mais après je suis bloquée si qqn pouvais m'aider se serait sympa
Merci

[Zauctore]

salut

$s_{n+1}=\frac{1}{90}\left(1-\frac{1}{10^n}\right)+\frac{1}{10^{n+2}} \ = \frac1{90} - \frac{1}{90\times10^n} + \frac{1}{10^{n+2}} \= \frac1{90} - \frac{10}{9\times10^{n+2}} + \frac{9}{9\times10^{n+2}}$

à toi de finir.

[c0quelik0]

$s_{n+1}=\frac{1}{90}-\frac{1}{9\times 10^{n+2}}$

D'où $s_{n+1}=\frac{1}{90}\left(1-\frac{1}{10^{n+1}}\right)$

C'est ça ?
Merci pour ton aide Zauctore

[kanial]

Oui c'est juste !

Tu aurais pu aussi remarquer que Sn est la somme d'une suite géométrique, ce qui te donnait directement le résultat.