Fonction exponentielle exp(x) - x - 1

[Mélanie59]

bonjour, j'ai besion d'aide pour un exercice

**l'énoncé :
Soit g la fonction définie sur [0;+∞[ par g(x) = $e^x$-x-1

1. a. Calculer g'(x). En déduire le sens de variation de g sur [0;+∞[
   b. Calculer g(0). En déduire le signe, pour tout x>0, de g(x)
2. Soit h la fonction définie sur [0;+∞[ par h(x) = $(2-x)e^x$-1
   a. Etudier la fonction h et dresser son tableau de variation
   b. Montrer que l'équation h(x) = 0 admet une solution unique, a. Donner un encadrement de a à $10^{-2}$ près.
   c. Préciser le signe de h(x) sur [0;+∞[**

ce que j'ai réussit à faire :

1. a. g'(x) = $e^x$-1

la fonction est croissante sur [0;+∞[

b. g(0) = 0

à partir de là je ne trouve pas les réponses aux questions suivantes****

aidez moi SVP:frowning2: ******

[Zauctore]

salut

dérivée bonne pour g

si g est croissante sur R+ et g(0) = 0, alors g(x) est toujours de quel signe ?

étudier la fonction h : ses limites, ses variations (avec sa dérivée peut-être)

la solution à l'équation proposée sera une application du théorème des valeurs intermédiaires.

[Mélanie59]

ok, merci, pourrais-tu me dire si ce que j'ai fais c'est bon ?

g(x) est toujours du signe +

limite x→0 h(x) = 1
limite x→+∞ h(x) = +∞

h'(x) = 1 (je suis vraiment pas sur de cette réponse)

mais la question b. malgrès tes conseils je n'ai pas réussi à la faire
(tu pourrais me donner un exemple, si ça te dérange pas trop)

[Zauctore]

je ne suis pas d'accord avec ça : limite x→+∞ h(x) =
+∞

la dérivée de h me semble t-il est $e^x$ - $x{e}^x$ tu vois pourquoi ?

cherche dans ton cours l'énoncé du théorème des valeurs intermédiaires et donne-le ici stp.

[Mélanie59]

voila mon problème pour le théorème des valeurs intermédiaires, j'étais absente le jour où on a fait cette leçon et je n'ai toujours pas récupéré mon cours, j'ai donc regardé dans mon livre et voila ce que j'ai trouvé :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a, b sont 2 réels de I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k. Donc il existe au moins une solution comprise entre a et b

[Zauctore]

oui et il existe un corollaire plus performante pour les solutions d'équation :

si une fonction f est continue sur un intervalle, si elle est strictement monotone sur le même intervalle et si f prend des valeurs négatives et des valeurs positives, alors il existe un unique réel a dans l'intervalle tel que f(a) = 0.

[Mélanie59]

OK, merci beaucoup pour tes explications, j'ai trouvé :

1,83≤ a <1,84