Math-fiche - Equations différentielles

Quelques explications et compléments de cours sur ces mystérieuses équations différentielles/fonctionnelles.

I/ Qu'est ce que c'est ?

Une équation différentielle (ou équation fonctionnelle) est une équation dont l'inconnue est une fonction. On note généralement y la fonction recherchée, y',y'',..., $y^{(n)}$ ses dérivées successives.

Par exemple l'équation $sin⁡(2y×y′)=2y′′\sin (2y\times {y{'}}) = \frac{2}{y{''}}$ d'inconnue y: $R\mathbb {R}^$ → $R\mathbb {R}$ deux fois dérivables est une équation différentielle du second ordre (elle fait intervenir la dérivée seconde de y).
Ses solutions sont toutes les fonctions qui vérifient $sin⁡(2y(x)×y′(x))=2y′′(x)\sin (2y(x)\times {y{'}(x)}) = \frac{2}{y{''}(x)}$ pour tout x∈ $R\mathbb {R}^$ .
Cette équation est sans doute parfaitement impossible à résoudre, mais rien n'empêche de la poser.

II/ A quoi ça sert ?

Pour une fois que les mathématiques servent à quelque chose on va pas se priver de le dire.
Les équations différentielles servent principalement en physique. Ou plutôt la physique est fondée sur des équations différentielles. D'ailleurs celui qui a découvert, formalisé et résolu les premières de ces équations s'appelle Isaac Newton.
L'oscillation d'un pendule, d'un ressort ou de la corde d'un violon est solution d'une équation différentielle. Dès qu'on étudie des circuits électriques on résout des équations différentielles ... etc.
Bref vous verrez tout le temps des équations différentielles en physique et malheureusement les professeurs de physiques ne sont pas toujours très doués pour les expliquer.

III/ Equations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants sans second membre(ça en jette hein ?)

Il s'agit des équations différentielles les plus simples. Elles se présentent sous la forme :
y'+ay=0
avec a∈ $R\mathbb {R}$ , d'inconnue y: $R\mathbb {R}$ → $R\mathbb {R}$
Ces équations différentielles sont dites linéaires car elles ne font intervenir que des additions entre les y d'ordres différents et les différents y ne sont que multipliés (pas de sin(y') ou de y²).
Du premier ordre car on ne dérive pas plus d'une fois.
A coefficients constants car on multiplie les y que par des réels (on ne les multiplie pas par des polynômes par exemple).
Sans second membre car "...=0". On verra après avec "...=b" où b∈ $R\mathbb {R}$ .

Proposition : Soient a un réel et y une fonction définie et dérivable sur $R\mathbb {R}$ .
Les solutions de l'équation y'+ay=0, c'est à dire de l'équation y'=-ay sont exactement les fonctions de la forme x→ $λe−ax\lambda {e^{-ax}}$ avec $λ∈R{\lambda} \in \mathbb {R}$

Démonstration :

Soit $λ∈R{\lambda} \in \mathbb {R}$ quelconque, en posant pour tout x∈ $R\mathbb {R}$
y(x) = $λe−ax\lambda {e^{-ax}}$
Alors y est dérivable sur $R\mathbb {R}$ comme fonction exponentielle (toujours le préciser en math, jamais en physique) avec pour tout x∈ $R\mathbb {R}$ :
y'(x) = $−aλe−ax-{a}{\lambda} {e^{-ax}}$
y'(x) = -ay(x)
y'(x)+ay(x) = 0

Donc les fonctions de la forme x→ $λe−ax\lambda {e^{-ax}}$ sont bien solutions de notre équation différentielle. Maintenant on va montrer qu'il n'y a pas d'autres solutions que celles-ci. Pour cela on va poser une fonction, supposer qu'elle est solution et montrer qu'alors elle est de la forme x→ $λe−ax\lambda {e^{-ax}}$ .

Soit g une fonction définie et dérivable sur $R\mathbb {R}$ solution de y'+ay=0.
Soit $φ\varphi$ la fonction définie pour tout x∈ $R\mathbb {R}$ par :
$φ(x)=g(x)e−ax\varphi (x) = \frac{g(x)}{e^{-ax}}$
donc
$φ(x)=g(x)eax\varphi (x) = {g(x)}{e^{ax}}$
$φ\varphi$ est dérivable sur $R\mathbb {R}$ comme produit de fonctions qui le sont avec pour tout x∈ $R\mathbb {R}$ :
$φ′(x)=g′(x)eax+ag(x)eax\varphi{'} (x) = {g{'}(x)}{e^{ax}}+ag(x){e^{ax}}$
$φ′(x)=eax(g′(x)+ag(x))\varphi{'} (x) = {e^{ax}}(g{'}(x)+ag(x))$
Mais comme g est solution de y'+ay=0 on a g'(x)+ag'(x)=0 donc
$φ′(x)=0\varphi{'} (x) = 0$
Donc $φ\varphi$ est une fonction constante. On pose alors $λ∈R{\lambda} \in \mathbb {R}$ tel que pour tout x∈ $R\mathbb {R}$ :
$φ(x)=λ\varphi (x) = {\lambda}$

Maintenant, en revenant à la définition de $φ\varphi$ on a :
$φ(x)=g(x)e−ax\varphi (x) = \frac{g(x)}{e^{-ax}}$
$λ=g(x)e−ax\lambda = \frac{g(x)}{e^{-ax}}$
${\lambda}{e^{-ax}}$
Et nous voila bien retombé sur une fonction de la bonne forme. y'+ay=0 n'admet donc pas d'autres solutions que celle de la forme x→ $λe−ax\lambda {e^{-ax}}$ avec $λ∈R{\lambda} \in \mathbb {R}$ .

IV/ Equations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants avec second membre:

Il s'agit des équations différentielles de la forme y'+ay=b avec a et b des réels.
Pour les résoudre on a besoin d'un petit théorème qui s'énonce ainsi.

Théorème : Soient $a_0$ , $a_1$ ,..., $a_n$ et b des fonctions de $R\mathbb {R}$ dans $R\mathbb {R}$ .
Soit
$(E)(\mathcal{E})$ $a$ n $y$ ^{(n)} $+ a$ {n-1} $y^{(n-1)}$ +... $a_0$ y=b
une équation différentielle linéaire quelconque.
L'ensemble des solutions de $(E)(\mathcal{E})$ peut s'écrire comme la somme des solutions de l'équation sans second membre correspondante à $(E)(\mathcal{E})$ et d'une solution particulière de $(E)(\mathcal{E})$ .

Démonstration (pour des équations différentielles du premier ordre à coefficients constants) :
Soient a et b deux réels.
Soient $(E)(\mathcal{E})$ y'+ay=b une équation différentielle et $(E0)(\mathcal{E}{0})$ y'+ay=0 l'équation sans second membre correspondante (on l'appelle parfois équation homogène).
Soit $y_g$ une solution quelconque de $(E0)(\mathcal{E}{0})$ .

On va raisonner par équivalences ce qui nous évitera d'avoir à faire le sens réciproque. Je vous conseille de le lire dans une sens puis dans l'autre en réfléchissant à chaque fois à l'objectif de la démonstration.

On fixe une fonction y.

(y est une solution particulière de $(E)(\mathcal{E})$ )
⇔y'+ay=b
⇔ $y′+ay+yg′+ayg⏟=0=by'+ay+\underbrace{{y_{g}}{'}+ay_g}{=0}=b$
⇔ $y'+{y{g}}{'})+(ay+ay_g)=b$
⇔ $y+y_g){'}+a(y+y_g)=b$
⇔ $y+y_g$ ) est solution de $(E)(\mathcal{E})$

A partir de là on peut maintenant résoudre les équations différentielles du type y'+ay=b.
Si a≠0
Dans ce cas la fonction x→ $ba\frac{b}{a}$ est une solution évidente dans l'équation différentielle (je vous laisse vérifier) donc par somme avec les solutions de l'équation homogène, les solutions de y'+ay=b sont les fonctions de la forme x→ $λe−ax+ba\lambda {e^{-ax}}+\frac{b}{a}$ avec $λ∈R{\lambda} \in \mathbb {R}$ .
Si a=0
l'équation devient y'=b, résoudre l'équation différentielle revient à intégrer b. y est donc de la forme x→bx+c avec c∈ $R\mathbb {R}$

Je pensais aborder les équations différentielles du second ordre, celle du premier ordre à coefficients non constant et les problèmes de Cauchy mais ça ferait un peu trop long pour une fiche. D'autant que ces équations différentielles ne sont pas au programme de terminale.
S'ils vous donnent une équations du second ordre ils vous en donneront la solution et vous demanderont de vérifier qu'elle est bien solution. Ils ont même de bonne chances de le faire aussi pour une équation du premier ordre.

Tout de même pour la culture, un problème de Cauchy (du premier ordre) est un système comme suit :
$\begin{cases} \ y'+ay=b \ \ y(c)=d \ \end{cases}$
a et b peuvent être des réels ou des fonctions, c et d sont des réels.
Un tel système admet une et une seule fonction pour solution. En physique, la deuxième équation est généralement obtenue grâce aux conditions initiales.

**Lien vers l'Article

Merci pour cette math-fiche, fort bien détaillée en explications, et qui vient avantageusement compléter les cours de Math foru' !