Résoudre un problème d'optimisation de bénéfice à l'aide des fonctions

*Bonjour.
Mon prof de maths m'a donné 2 exercices à faire pendant les vacances pour m'entraîner à faire mon prochain DS sur les fonctions. Seulement je ne saisi pas la moindre chose dans ceux-ci ! (je me pose des questions...)
Je voudrais donc avoir de l'aide pour les faire..
Merci d'avance.

Voilà le 1er énoncé:*

**En économie.
Chaque jour, une entreprise fabrique x objets, avec x ∈ [0;50].
Le coût de production des x objets est donné en euros par:
C(x)= 60 - 0,3x.
Le revenu des x objets est donné en euros par:
R(x)= 20,1x - 0,3x².
Le bénéfice quotidien de cette entreprise est donné par B(x), avec :
B(x)= R(x) - C(x).

a) Exprimer B(x) en fonction de x et vérifier que : B(x)= -0,3(x-34)² + 286,8.

b) Identifier l'enchaînement des fonctions de référence qui conduit de x à B(x).

c) Quel est le bénifice maximal ? Quel nombre d'objets l'entreprise doit-t'elle produire pour l'atteindre ?**

Voici le second exo:

**Partie A: Avec la géométrie.
On pourra réaliser la figure soit sur papier, soit à l'aide d'un logiciel de géométrie.

Dans un repère orthonormal (O; I,J), tracer :

a) la parallèle d à l'axe des ordonnées passant par I ;

b) la parabole d'équation y=x².
2. On note x un réel positif ou nul et M le point de coordonnées (x;x²).
La parallèle à l'axe des abscisses, passant par M, coupe l'axe des abscisses en Q.

a) Démontrer que le quadrilatère OQMP est un rectangle et exprimer son aire en fonction de x.

b) Trouver sur cette figure un rectangle d'aire x², en utilisant seulement les points précédents.

c) Déduire des question a) et b), la comparaison de* x²* et x³ lorsque x ∈ ]0;1[ puis lorsque x ∈ ]1;+∞[.

Partie B : avec l'algèbre.

a) Factoriser la différence x³-x².

b) En déduire le signe de cette différence selon les valeurs de x. Comparer alors x² et x³.**

Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
Pour B(x) tu appliques la relation indiquée dans l'énoncé.

Le problème c'est que j'ai beau chercher (j'y suis depuis samedi aprem...) et je ne trouve pas comment faire.
Je ne comprends pas toutes les questions ... Je ne sais pas le faire.
Mon prof m'a indiqué que c'était un travail de recherche : le mien n'aboutit à aucunes réponses malgrès mes recherches..

Bonjour,

Indique tes éléments de réponse
Exercice 1
a) Calcule R(x) - C(x) = ....
Développe -0,3(x-34)²+ 286,8 = ...

Bonjour,
Je doit développer pour trouver le meme résultat que ce que j'aurais exprimé auparavant, c'est ça ?

Oui c'est une méthode pour vérifier.

D'accord.
Et pour "l'enchaînemant des fonctions de référence" que doit-je faire ?

Quelles fonctions de référence connais tu ?

On te demande l'enchaînement pour passer de x à B(x).

Je ne vois pas ce que c'est.. Est-ce qu'on parle des fonctions affines, linéaires et constantes ? :rolling_eyes:

Oui

ainsi que la fonction carré, cube....

Oui mais à quoi est-ce que ça me sert de marquer ça ?
Je dois identifier ce qui conduit x à B(x) ... ???

Pour tracer B(x) à partir des fonctions de références, lesquelles as-tu besoin ?

Salut bon alors jarrive peut etre trop tard mais noemi en seconde on ne voit pas encore la fonction cube pour lenchainement des fonction on ne se sert que des fonction affines carré inverse et constantes. jessaierai de te donner la reponse demain pour tes exercice.

Ce n'est pas trop grave. Je veux juste comprendre ce que je n'arrive pas à faire, sinon il n'y a pas d'interêts..
Merci beaucoup ! J'attends avec impatiente

Bonjour,
Et si tu proposais tes éléments de réponse au lieu d'attendre la solution.

Oui, biensûr.
Pour le 1, j'y arrive vraiment pas du tout :frowning2:
Pour le 2, je n'arrive pas à développer (question a)) car je ne trouve pas le même résultat, voilà ce que je trouve en développant :

Pour le B(x) à vérifier: B(x)= -0,3x² + 20,4x -60
Pour B(x) = R(x) - C(x) : B(x) = 0,3 (x-200 +67 -x²)

Ensuite à la question b) je n'ai jamais appris à faire "l'enchaînement de fonctions" ... je ne sais meme pas ce qu'est une référence :frowning2:
Pour la question c) j'ai trouvé que le bénéfice maximal est de 210 Euros. Et donc le nombre d'objets que doit vendre l'entreprise est de 50 (car 50 est compris dans l'intervalle de départ)

Est-ce que c'est bon ce que j'ai marqué ?

a) Ton expression de B(x) est juste : B(x) = -0,3x²+20,4x -60
Développe (x-34)²= ...
puis -0,3(.......) + 286,8

D'accord, ce qui donne :
(x-34)² = x² -68x +1156
puis : -0,3 (1156) + 286,8.
Mais à quoi est-ce que cela me sert-il ? Je voudrais quand même comprendre ce que je fais.

C'est B(x) que tu développes
(x-34)² = x² -68x +1156
puis : -0,3 (x² -68x +1156) + 286,8
= .....

Donc si je développe, j'aurais :
-0,3 (x² -68x +1156) + 286,8
= -0,3x² +20,4x -346,8 + 286,8
= -0,3x² + 20,4x -60
??
Ce qui me donne B(x) ?

[Aie-je juste pour la question c) ?]

La question c) est fausse :
Quel est le maximum de : B(x)= -0,3(x-34)² + 286,8.
Tu as un carré multiplié par -0,3 plus 286,8 ??

Pourquoi je ne peux pas remplacer x par 50 étant donné que c'est le nombre d'objets maximal ??

Pourquoi 50 serait il le nombre d'objets maximal ?
Comment as-tu trouvé 50 ?

Dans l'énoncé au tout début, il est dit que "Chaque jour, une entreprise fabrique x objets, avec x ∈ [0;50]." (50 inclu)

Oui 50 est le nombre total d'objets que produit l'entreprise en une journée, mais ce nombre donne t-il un bénéfice maximal ?

Il est vrai que l'on pourrait croire que plus on produit, plus le bénéfice augmente.
Ici ce n'est pas le cas, vu le coût de production.

Pour répondre à la question, tu dois analyser l'expression -0,3(x-34)² + 286,8.
Avec ta calculatrice, programme cette fonction, choisis des valeurs pour x et analyse comment évolue y.

Lorsque x diminu le bénéfice diminu aussi, c'est bien ça ?

Non ce n'est pas précis.
Combien tu trouves à f(10), f(20), f(30), f(40), f(50) ?

Pour f(10) = 114
f(20)=228
f(30)=282
f(40)=276
f(50)= 210
f(60)=84
f(70)= -102

Puis ça diminue de plus en plus.

Tu remarques donc que le bénéfice croit puis décroît, donc le résultat n'est pas 50.
Analyse l'écriture de B(x)
B(x) = -0,3(x-34)² + 286,8.

Quelle est la plus grande valeur que peut prendre B(x) ?

C'est donc x=30 la plus grande valeur de x ! Puisque le bénéfice est égal a 282 lorsqu'on remplace x dans -0,3(x-34)² + 286,8 par 30 ! C'est bien ça ?

30 est un résultat trouvé à partir des calculs pour 10, 20, ....
mais il faut utiliser B(x) = -0,3(x-34)² + 286,8
Que l'on peut écrire
286,8 - 0,3(x-34)²
qui correspond à une soustraction
donc la plus grande valeur pour le bénéfice est 286,8
qui est obtenu si 0,3(x-34)² = 0, soit pour x = ....

Ce qui donne :
0,3(x-34)² = 0
x²-68x + 1156 = -0,3
x²= 68x -0,3 - 1156
x=√(68x -0,3 - 1156) ??

Tu te compliques :

0,3(x-34)² = 0 équivalent à
(x-34)²= 0
Soit x-34 = 0
x = .....

Donc x=34.
Mais où vont le 0,3 et le "²" ?

Tu appliques la propriété, un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
-0,3(x-34)² = -0,3 (x-34)(x-34)

Car -0,3 est nul ?

non,
-0,3 reste -0,3
seul (x-34) = 0

D'accord.
Donc x = 34 ?
Mais.. Je ne comprends pas bien à quoi est-ce cela me mène..
Si x=34, est-ce que cela veut dire que c'est la valeur maximale que x peut prendre pour que y soit égal a 286,8 ?

Oui c'est la réponse à la question c)
B(x) est une différence, donc le bénéfice maximal est 286,8
Le nombre d'objets à produire est 34 résultat obtenu en résolvant l'équation (x-34) = 0.

D'accord !!!
Et pour l'enchaînement des fonctions, j'ai recherché sur internet et j'ai cru voir sur des exemples plus simples que d'autres que c'était un sorte de décomposition.. Oui ou non ?