Exercice d'application de la dérivation

Bonjour,
Je bloque sur un probleme d'application à la dériation.
Voici le sujet :

Le problème du raccordement est de joindre par une courbe plane un tronçon origine et un tronçon extrémité.
en voici un exemple :
Le tronçon origine est une demie-droite [Ax) et le tronçon extrémité est ici l'arc de cercle BC de centre O.
le raccordement doit être tangent à chacun des deux tronçons préexistants.
On choisit comme tracé une courbe représentant une fonction polynôme du 3e degré f, dans un repère orthogonal (A;i;j)(échelle 1cm pour 1km).

quelles sont les coordonnées de O, B et C dans ce repère ?
Expliquez pourquoi f(0)=0 et f'(0)=0.
T est la tangente en B à l'arc de cercle BC. Quel est le coefficient directeur de T ?
En déduire f(4)=3 et f'(4)=1/2.
4.Le polynôme cherché s'écrit :
f(x)=ax^3+bx²+cx+d.
Ecrire le système de quatre équations à quatre inconnues qui traduit les égalités trouvées au 2. et au 3. ; puis déterminer f.

J'ai réussi à faire la question 1, 2 et une partie de la 3.
A la 3 : j'ai trouvé -2 comme coefficient directeur à la tangente.
Dire pourquoi f(4)=3, j'ai dit que le point qui a pour abscisse 4 sur la courbe est B et que l'ordonné de ce point est 3 donc f(4)=3.
Mais pour déduire que f'(4)=1/2, je ne vois pas du tout comment faire .

Et à la 4, je suis également bloquée, je ne vois pas vraiment ce qu'on attend de moi. C'est quoi les système de quatre équations à quatre inconnus que je suis censée avoir trouvé précédemment.
Moi j'ai seulement que f(0)=0 ; f'(0)=0 ; f(4)=3 et f'(4)=1/2.

Pouvez vous m'aidez svp, ça fait un sacré moment que je suis bloquée, je n'ai plus aucune idée.

Merci par avance

Bonjour,
Il manque la courbe. Quelles sont les coordonnées des points ?
f'(4) = 1/2 C'est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 4.

Question 4
calcule f(0), f(4), f'(0) et f'(4) avec le polynôme
f(0) = d, or f(0) = 0, soit d = ..... Première équation

je te laisse poursuivre

J'ai pas réussi à faire afficher la courbe.
Pour les coordonnées des points, j'ai trouvé O(3.5) ; B(4;3) et C(3+√5;5).
Mais le coefficient directeur de la tangente je l'ai déjà calculé au début de la question 3 et j'ai pas trouvé 1/2 mais -2.
Je comprends pas

Pourriez vous me réexpliquer la 3eme question, je ne comprends pas.
Pour la 4eme, pouvez me dire si ce que je viens de faire(en suivant ce que vous m'avez dit) est juste ou pas :
f(0)=a×0^3+b×0²+c×0+d
f(0)=d
Or f(0)=0 donc d=0

f(4)=a×4^3+b×4²+c×4+d
f(4)=64a+16b+4c+d
Or f(4)=3 donc 64a+16b+4c+d=3
Par contre après la je ne vois pas comment réduire encore plus.

Et pour les f'(0) et f'(4) je ne sais pas. Pouriez vous m'aider svp ?

Comment as tu calculé le coefficient directeur de T ?

Pour f(4) c'est juste.
Calcule la dérivée f'(x) = ....

Pour calculer le coefficient de T j'ai utilisé les coordonnées des points de la première question : O(3;5) ; B(4;3) et C(3+√5). Comme (T) est la tangente en B à l'arc de cercle BC alors la tangente passe par le centre du cercle O d'où : $yb−yoxb−xo=3−54−3=−2\frac{yb-yo}{xb-xo}=\frac{3-5}{4-3}=-2$ .
La dérivée de f'(x) ? Donc la dérivée de ax³+bx²+cx+d ?

Le dérivée de f(x) est f'(x)=(ax³+bx²+cx+d)'= 3ax²+2bx+cx

Que dois-je faire ensuite ?

Remplacer x par 4 pour avoir f'(4) mais je ne trouve pas un nombre, puisqu'il y a des a, b et c ???

Pour la tangente T, elle passe par le point O ?? Puisqu'elle est tangente au cercle, elle ne peut pas passer par le point O.

Pour la dérivée : f'(x) = 3ax²+2bx+c
Calcule f'(4) et f'(0), comme pour f(4) tu vas trouver une relation entre a, b, c.

Donc l'équation de ma tangente est fausse du coup ou bien il faut seulement que je retire que la tangente passe par O (ce qui est donc faux).

f'(4)=3×a×4²+2×b×4+c
f'(4)=48a+8b+c

f'(0)=3×a×0²+2×b×0+c
f'(0)=c

Pour la tangente, à partir du graphique, peux-tu trouver les coordonnées d'un autre point qui est sur la tangente.

Les calculs sur la dérivée sont juste, applique f'(0) = 0 et f'(4) = 1/2

Le coefficient directeur de la tangente est-t-il bien -2 ? Si oui, je ne vois pas d'autres points qui pourraient se situer sur cette tangente.

f'(0)=c or f'(0)=0 donc c=0
f'(4)=48a+8b+c or f'(4)=1/2 donc 48a+8b+c=1/2 ou même 48a+8b+c-1/2=0

Difficile de répondre pour le coefficient directeur sans la courbe.
Pour vérifier si a = -2, tu choisis un point sur la tangente, tu te déplaces vers la droite de une unité horizontalement puis de deux unités vers le bas, tu dois te retrouver sur la tangente.

Pour la question 4, écris les quatre équations que tu as trouvées.

Je retente d'envoyer la courbe

les 4 équations sont :

d=0
64a+16b+4c+d-3=0
c=0
48a+8b+c-1/2=0

Je pense qu'il est simple maintenant de trouver les valeurs de a et b.

Maintenant je n'arrive même plus à aller sur le lien qui permet d'envoyer une image à cause des problemes de connexion dûs à la tempête ( il vient d'y avoir une coupure de courant voila pourquoi j'ai mis du temps à répondre).

Résous le système.

je suis en train de retenter d'envoyer l'image mais elle est toujours trop lourde, donc je la rétrécis mais pour finir on ne va plus voir grand chose.

en résolvant le système je trouve :
a=-109/64
b=7
c=0
d=0
est-ce juste ?

donc pour répondre à la question, f(x)=-109/64x³+7x²

avec ce site, pouvez vous voir l'allure de la courbe qui est là pour illustrer l'exo et nous aider à répondre aux questions ?
C:\Users\Utilisateur\Documents\1ereS\maths\figure ex 74p98.gif

si ainsi on peut voir l'image, il est possible de la voir en plus grand sur :
C:\Users\Utilisateur\Documents\1ereS\maths\courbe ex74 page 98.gif

Pour le système, c'est faux, refais le calcul.

Le chemin pour l'image n'est pas bon.

Ah oui désolée je me suis trompée
J'ai refais et je trouve :
a=1/8
b=-11/16
c=0
d=0
est ce juste maintenant ?

Non, a = -1/16 et b = ....

b=28
mais je ne suis plus sûre de rien maintenant
alors ?

Reprends tes calculs, b = 7/16

Exacte, désolée
Avez vous réussi à voir l'allure de l'image avec le lien que je vous ai envoyé ?

Non, impossible de voir l'image, le lien ne fonctionne pas.

ah mince, tanpis
puis-je vous poser une autre question ? elle concerne le suite de l'exercice, il reste deux questions, la dernière je saurais la faire mais la première j'aurais peut être besoin de quelques éclaircissements.

Tu peux poser ta question.

la question est :
soit g la fonction définie par g(x)=- $g(x)=−116x3+716x2g(x)=\frac{-1}{16}x^3+\frac{7}{16}x^2$ sur [0;4].
démontrer que la courbe représentatif de g vérifie les contraintes du problème.

Je remarque que la g(x), est la même fonction que f(x) quand on remplace les a, b, c et d par les résultats trouvés en résolvant le système de quatre équations à quatre inconnus. Mais je ne sais pas trop quoi dire de plus pour répondre à la question.

C'est la réponse.

C'est tout ? Ah d'accord.
Merci beaucoup pour votre aide, vous m'avez beaucoup apporté