Montrer que des points sont alignés à l'aide des vecteurs



  • Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour finir un DM sur les vecteurs, que je dois rendre à la rentrée.
    Ce DM est composé de plusieurs exercices.
    Exercice 1 =
    ABC est un triangle quelconque. F est le mileu de [BC].
    Les ponts E et K sont définis par : →AE = 3/4 →AB et →CK = -1/2 →CA
    Montrer que les ponts E, F et K sont alignés.

    J'ai pensé qu'il fallait prouver la colinéarité des vecteurs →EF et →EK. Donc on a : →EK = k→EF. Et on cherche k.
    J'ai commencé un calcul, mais je suis bloquée ensuite.
    →EK = →EA+→AF ou →EF = →EA+→AC+1/2→CB
    →EK = →EA+→AK ou →EK = →EA+→AC+→CK ou →EK = →EA+3/2→AC

    →EK = 3/4→BA+3/2→AC
    →EF = 3/4→BA+1/2→CB

    Voilà, je voulais savoir si je suis sur la bonne voie ou complètement à côté du truc, parce que là il n'y a aucun lien entre →EK et →EF ...

    Merci d'avance !!

    PS : Je mettrai les autres exercices quand vous m'aurez répondu, je pense que ça sera plus clair.



  • Bonjour,

    Exprime les vecteurs EK et EF en fonction des vecteurs AB et AC.



  • Bonjour,

    →EK = 3/4→BA+3/2→AC C’est bon

    Donc $EK^→$ = -3/4 $AB^→$ + 3/2 $AC^→$ = 3 (-1/4 $AB^→$ + 1/2 $AC^→$ )

    Faut calculer EF maintenant

    En utilisant le fait que F milieu de [BC] donc $AF^→$ + $AC^→$ = 2 $AF^→$

    $EF^→$ = $EA^→$ + $AF^→$ = - 3/4 $AB^→$ + 1/2 $AB^→$ + 1/2 $AC^→$ = . . .

    À toi pour la suite, ça devrait aller.



  • OK, merci beaucoup, j'ai réussi ^^.
    Mais j'ai d'autres exercices qui me posent problème, en tout j'en ai 5.
    Voici l'exercice 2 =
    ABCD est un parallélogramme. Les points P et Q sont définis par :
    →AP = 5/2→AC + 3/2→CB et →CQ = -2→AC + 1/2→AB
    Montrer que B est le milieu du segment [PQ].

    J'ai trouvé ça :
    →QB = →QC + →CB et →BP = →BC + →CP
    →QC = 1/2→BA + 2→AC et →CP = 3/2→AC + 3/2→CB

    Donc :
    →QB = 1/2→BA + 2→AC + →CB et →BP = →BC + 3/2→AC + 3/2→CB

    Mais ça n'est pas égal, donc ça veut dire que B n'est pas le milieu de [PQ]. J'ai sûrement fait une erreur de calcul, mais je ne la vois pas. Ou alors c'est peut-être mon raisonnement qui est faux ?

    Merci d'avance pour votre réponse.



  • Excusez-moi pour le double post, mais j'ai fait une erreur dans l'énoncé.
    Ce n'est pas ABCD est un parallélogramme, mais ABC est un triangle quelconque.
    Encore désolée !!



  • Bonjour,

    Exprime les vecteurs QB et QC en fonction des vecteurs AB et BC.
    Attention aux signes : vect QC = 2 vect AC - 1/2 vect AB = 3/2 vect AB + 2 vect BC



  • Désolée, mais je ne comprends pas =S ...
    Pouvez-vous m'expliquer sans me donner la solution ? J'aimerais la trouver par moi-même.
    Merci d'avance.



  • Si B est le milieu de PQ, pour vérifier, on peut montrer que vect PB = vect BQ

    Exprime vect PB et vect BQ en fonction de vect AB et vect BC.



  • Je suis désolée noémi, mais je reste bloquée. =S Je ne trouve pas une égalité entre les 2 vecteurs !!!!
    Je suis complètement perdue là ...



  • Bonjour Pauline

    Il faut montrer que vect PB = vect BQ
    Or vect PB = vect PA + vect AB
    = - 5/2 vect AC - 3/2 vect CB + vect AB
    = -5/2 vect AB - 5/2 vect BC + 3/2 vect BC + vect AB
    = -3/2 vect AB - vect BC

    De même
    vect BQ= vect BC + vect CQ
    = vect BC - 2 vect AC + 1/2 vect AB
    = vect BC - 2 vect AB - 2 vect BC + 1/2 vect AB
    = ....
    Je te laisse terminer


 

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