Montrer que des points sont alignés à l'aide des vecteurs

[pauline73]

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour finir un DM sur les vecteurs, que je dois rendre à la rentrée.
Ce DM est composé de plusieurs exercices.
Exercice 1 =
ABC est un triangle quelconque. F est le mileu de [BC].
Les ponts E et K sont définis par : →AE = 3/4 →AB et →CK = -1/2 →CA
Montrer que les ponts E, F et K sont alignés.

J'ai pensé qu'il fallait prouver la colinéarité des vecteurs →EF et →EK. Donc on a : →EK = k→EF. Et on cherche k.
J'ai commencé un calcul, mais je suis bloquée ensuite.
→EK = →EA+→AF ou →EF = →EA+→AC+1/2→CB
→EK = →EA+→AK ou →EK = →EA+→AC+→CK ou →EK = →EA+3/2→AC

→EK = 3/4→BA+3/2→AC
→EF = 3/4→BA+1/2→CB

Voilà, je voulais savoir si je suis sur la bonne voie ou complètement à côté du truc, parce que là il n'y a aucun lien entre →EK et →EF ...

Merci d'avance !!

PS : Je mettrai les autres exercices quand vous m'aurez répondu, je pense que ça sera plus clair.

[Noemi]

Bonjour,

Exprime les vecteurs EK et EF en fonction des vecteurs AB et AC.

[CQFD]

Bonjour,

→EK = 3/4→BA+3/2→AC C’est bon

Donc $E{K}^{\to }$ = -3/4 $A{B}^{\to }$ + 3/2 $A{C}^{\to }$ = 3 (-1/4 $A{B}^{\to }$ + 1/2 $A{C}^{\to }$ )

Faut calculer EF maintenant

En utilisant le fait que F milieu de [BC] donc $A{F}^{\to }$ + $A{C}^{\to }$ = 2 $A{F}^{\to }$

$E{F}^{\to }$ = $E{A}^{\to }$ + $A{F}^{\to }$ = - 3/4 $A{B}^{\to }$ + 1/2 $A{B}^{\to }$ + 1/2 $A{C}^{\to }$ = . . .

À toi pour la suite, ça devrait aller.

[pauline73]

OK, merci beaucoup, j'ai réussi ^^.
Mais j'ai d'autres exercices qui me posent problème, en tout j'en ai 5.
Voici l'exercice 2 =
ABCD est un parallélogramme. Les points P et Q sont définis par :
→AP = 5/2→AC + 3/2→CB et →CQ = -2→AC + 1/2→AB
Montrer que B est le milieu du segment [PQ].

J'ai trouvé ça :
→QB = →QC + →CB et →BP = →BC + →CP
→QC = 1/2→BA + 2→AC et →CP = 3/2→AC + 3/2→CB

Donc :
→QB = 1/2→BA + 2→AC + →CB et →BP = →BC + 3/2→AC + 3/2→CB

Mais ça n'est pas égal, donc ça veut dire que B n'est pas le milieu de [PQ]. J'ai sûrement fait une erreur de calcul, mais je ne la vois pas. Ou alors c'est peut-être mon raisonnement qui est faux ?

Merci d'avance pour votre réponse.

[pauline73]

Excusez-moi pour le double post, mais j'ai fait une erreur dans l'énoncé.
Ce n'est pas ABCD est un parallélogramme, mais ABC est un triangle quelconque.
Encore désolée !!

[Noemi]

Bonjour,

Exprime les vecteurs QB et QC en fonction des vecteurs AB et BC.
Attention aux signes : vect QC = 2 vect AC - 1/2 vect AB = 3/2 vect AB + 2 vect BC

[pauline73]

Désolée, mais je ne comprends pas =S ...
Pouvez-vous m'expliquer sans me donner la solution ? J'aimerais la trouver par moi-même.
Merci d'avance.

[Noemi]

Si B est le milieu de PQ, pour vérifier, on peut montrer que vect PB = vect BQ

Exprime vect PB et vect BQ en fonction de vect AB et vect BC.

[pauline73]

Je suis désolée noémi, mais je reste bloquée. =S Je ne trouve pas une égalité entre les 2 vecteurs !!!!
Je suis complètement perdue là ...

[Noemi]

Bonjour Pauline

Il faut montrer que vect PB = vect BQ
Or vect PB = vect PA + vect AB
= - 5/2 vect AC - 3/2 vect CB + vect AB
= -5/2 vect AB - 5/2 vect BC + 3/2 vect BC + vect AB
= -3/2 vect AB - vect BC

De même
vect BQ= vect BC + vect CQ
= vect BC - 2 vect AC + 1/2 vect AB
= vect BC - 2 vect AB - 2 vect BC + 1/2 vect AB
= ....
Je te laisse terminer