Inverse de la somme et somme des inverses. [les Fonctions ; Seconde]

Bonjour, j'ai un problème sur un exercice que je n'arrive pas à faire puique je ne le comprends pas. J'ai recherché sur internet mais je ne trouve pas un exemple similaire. Le voilà :

a)d est la droite qui représente la fonction x→ -x dans un repère. Les points qui n'appartiennent ni à d, ni aux axes de coordonnées se répartissent en six zones numérotées de 1 à 6 (voir la figure ci-jointe). On choisit un point M(x;y) tel que :

*x≠0, y≠0 et y≠ -x.*Indiquer, suivant le numéro de la zone dans laquelle M se trouve, le signe du nombre xy(x+y).
b)Démontrer que, quels que soient les réels x et y :

(x+ $y2\frac{y}{2}$ )² + $3y24\frac{3y^2}{4}$ = x²+ y²+ xy

c)Comparer, pour x≠0, y≠0 et x+y≠0, l'inverse de la somme de x et y avec la somme des inverses de x et y (on pourra étudier le signe de leur différence).
Les conclusions seront données suivant la position de M(x;y) dans l'une des six zones définies à la question a).

Mon image:

Merci de votre aide.

Bonjour,

a) As tu trouver le signe de xy(x+y) selon la zone ?
Zone 1 : xy(x+y) > 0
Zone 2 :

b) Développe l'expression

Pour la a) je pense que M est dans la zone 1.
J'ai fait un tableau de signe.
Mais... Je dois étudier le signe de xy(x+y) pour chaque zone ????
Parce-que j'avais trouvé que pour xy(x+y) que :

xy(x+y)>0 si x ∈]-∞; -y[U]0;+∞[
et xy(x+y)<0 si x ∈ ]-y;0[
et xy(x+y)=0 si x=-y et si x=0.

Est-ce que c'est juste ou je dois étudier le signe de xy(x+y) pour chaque parties ? Parce-que apart étudier le signe de la zone 1 et 4, je ne vois pas comment étudier les signes des autres zones .. ?

En développant à la question b), j'ai bien trouvé x²+y²+xy.
Je doit donc dire, conclure qu'en développant (x+ y/2 )² + (3y²)/4 , quels que soient les réels, on retrouvera à chaque fois "x²+y²+xy" ?

Pour la question c), quand on me demande de comparer, je dois élever au carré x et y ou non ? Je bloque plus sur cette question et sur la suite : " Les conclusions seront données (...) " . Je ne voit pas ce qu'on me demande de faire.

La question est d'étudier le signe pour chaque zone.
Pour les zones 2 et 3, le signe de x+y est opposé.
tu peux pour vérifier, utiliser un point au hasard dans chaque zone.

Oui.
Donc ce sera de même pour les zones 2 et 5 ? (x+y ason signe opposé)
Pour la question c), est-ce que ce que je propose est juste ?

Pour la question c, tu réduis la somme des inverses au même dénominateur et tu utilises les résultats de la question a).

Est-ce vous pouvez me donner un exemple ? Je ne saisi pas..

En fait 1/x + 1/y = (x+y)/xy
Le signe de ce rapport est le même que le signe du produit xy(x+y), donc tu utilises les résultats du a)

As-tu les réponses pour le a) ?

Ah d'accord pour la somme des inverses !
Mais je n'est pas les réponses pour la question a) car ce n'est pas ce que j'avais fait au départ.. (qui est faux..)

Reprend l'exercice à partir du départ

a) Etude du signe de xy(x+y) selon la zone
Zone 1 : xy(x+y) > 0
Zone 2 :
...

Donc, toutes les Zones (mis à part la Zone 1) ont leur signe négatifs.
Du moins, xy(x+y) est toujours <0 pour les Zones 2,3,4,5 et 6, c'est bien ça ?

Non, c'est faux, en fait c'est alterné, positif, puis négatif, puis .....

Vérifie

Alors suivant le schéma, 1 est positif, 4,5et 3 sont négatifs et 6 et positif ? comment je peux le voir ?

Non,
domaine 1, 3 et 5 c'est positif
et domaine 2, 4 et 6 c'est négatif

Pour vérifier tu prends un nombre dans chaque domaine

Domaine 2 ; x<0, y >0 et y>x donc xy <0 et x+y >0 soit xy(x+y) <0

D'accord. Donc pour la zone 3 par exemple, on aura :
x>0, y<0 et x>y sonc xy>0 et x+y<0 soit xy(x+y)>0 ??

Donc je n'est pas besoin de faire des tableaux de signes pour le démontrer ? Je peux seulemment faire la démonstration pour chaque zone comme vous venez de me le montrer c'est bien ça ?

Oui tu fais le même raisonnement sans erreur
zone 3

x<0, y>0 donc xy<0 et x+y<0 soit xy(x+y)>0

Zone 4:tout le contraire (signes < et > ) de la zone 1
Zone 5:Contraire de la zone 2 ?
Zone 6:Contraire de la Zone 3 ?

Cela dépend de ce que tu veux dire par "contraire"
Zone 3 :
x<0, y>0 donc xy<0 et x+y<0 soit xy(x+y)>0
Zone 6
x>0, y<0 donc xy<0 et x+y>0 soit xy(x+y)<0

Pour la Zone 5 j'aurais alors :
x>0 , y<0 et y<x donc xy<0 et x+y<0 soit xy(x+y)>0
Pour la Zone 1 :
tout est positif donc x>0 , y>0 donc xy>0 et x+y>0 soit xy(x+y)>0
??

Oui, c'est correct
il manque x dans la zone 5 pour le signe de xy
Zone 5
x>0 , y<0 soit xy<0 et x+y<0 soit xy(x+y)>0

D'accord. Donc si on en revient à la question c), que fait-t'on des résultats de la question a) que nous venons de traîter ?

Pour la question c, étudie le signe de la différence de 1/(x+y) avec 1/x + 1/y.
réduis au même dénominateur 1/(x+y) -1/x - 1/y

On devait pas faire : 1/x + 1/y = (x+y)/xy ?
Je ne comprends pas pourquoi (en gras) :
1/(x+y) avec 1/x + 1/y.
deviens :
1/(x+y) -1/x - 1/y ??

j'ai juste noté la différence
Tu dois comparer 1/(x+y) avec 1/x + 1/y
soit rechercher le signe de
1/(x+y) - (1/x+1/y), tu peux écrire 1/x + 1/y = x+y/xy
soit réduire au même dénominateur l'expression
1/(x+y) - (x+y)/xy = ....

1/(x+y) - (x+y)/xy = 1/[(x+y)(x+y)] - (x+y)/xy(x+y)
Puis on développe les facteurs ?

Non
1/(x+y) - (x+y)/xy = xy/[(xy)(x+y)] - (x+y)²/xy(x+y)

Pour l'étude prend en compte le résultat du b)

Je dois y aller
A+

Oui d'accord.
Merci pour tout quand même
Meme s'il me reste cette question
Si quelqu'un d'autre peut m'aider pour cette question

Ou en es tu de cette question ?

J'ai trouvé que 1/(x+y) - (x+y)/xy
= xy/[(xy)(x+y)] - (x+y)/xy(x+y)
= (x+y) - xy
Aprés on ne peut pas simplifier non ?

Il manque le carré :

1/(x+y) - (x+y)/xy = xy/[(xy)(x+y)] - (x+y)²/xy(x+y)

Donc on aura (x+y) - (x+y)/(xy)

1/(x+y) - (x+y)/xy = xy/[(xy)(x+y)] - (x+y)²/xy(x+y)
= [xy-(x+y)²]/xy(x+y)

Développe le numérateur

Donc c'est égal à :
= xy - (x² +2xy +y²)
= xy -x² -2xy -y² ???

xy -x² -2xy -y²
= -x² -xy -y²
=-(x² +xy +y²)

Pour le signe du rapport utilises les résultats du a et b.

Le rapport ?
Comment je peux utiliser les résultats du a) ? Parce-qu'on ne parle plus de "Zones"

1/(x+y) - (x+y)/xy = xy/[(xy)(x+y)] - (x+y)²/xy(x+y)
= -(x²+xy+y²)/xx(x+y)
= -[(x+y/2)²+3y²/4]/xy(x+y)

On cherche le signe de cette expression
Quel est le signe du numérateur ? du dénominateur ?

Le signe du numérateur est négatif et le dénominateur est positif non ?

Oui,
le numérateur est négatif, pour le dénominateur cela dépend de la zone
Utilise les résultats du a)

Donc pour la Zone 1 = positif
Zone 2= négatif
Zone 3= positif
Zone 4= négatif
Zone 5= positif
Zone 6= négatif
??