Dérivation et fonction

Bonjour j'ai un exercice à faire et je suis bloqué au début donc si quelqu'un pouvait m'aiguiller ce serait sympa.

Voici l'énoncé :

Soit la fonction f définie sur $mathbb{R}$ par f(x) = $sqrt{x^2+1}$

1° Démontrer que : f(a+h) - f(a) = $2ah+h2sqrt(a+h)2+sqrta2+1\frac{2ah + h^2}{sqrt{(a + h )^2} + sqrt{a^2 + 1}}$

E déduire le nombre dérivé de f en a. Indiquer f'(x)

Au début j'ai : f(a+h) - f(a) = $sqrt{a+h)^2+1} - sqrt{a^2+1}$

Mais ensuite je ne sais pas quoi faire . Quelqu'un peut m'aider ? Merci

Bonjour,
il manque +1 au dénominateur
Multiplie et divise ton écriture du début par V[(a+h)²+1] + V(a²+1)

Oui en effet il manque +1 au dénomimateur. Mais je ne comprend pas pourquoi il faut multiplier et diviser par $sqrt{(a+h)^2+1}+sqrt{a^2+1}$

Oui je crois que j'ai compris c'est parce qu'on a l'identité remarquavle a² - b²
Non ?

On multiplie et on divise par cette expression pour trouver la relation demandée. Cela va nous permettre de trouver la dérivée.

J'ai calculé et je trouve le bon résultat. Donc le nomre dérivé de f en a c'est ce nombre divisé par h non ?

Oui, tu divises par h et tu calcules la limite quand h tend vers 0.

Donc j'ai $\lim_{h\rightarrow {0}$ $\frac{2ah +h^2}{h sqrt{(a+h)^2+1+{a^2+1}}$

Et après il faut dériver ?

Calcule la limite et tu auras le nombre dérivé en a puis tu indiques la dérivée.

Le truc c'est que j'ai pas compris les dérivées et que je ne sais pas comment on fait pour calculer une limite

Pour le calcul de la limite tu simplifies l'expression par h, puis tu remplaces les h qui reste par 0, et tu obtiens f'(a) = ....

j'obtiens $lim_{h \rightarrow {0} \frac{2ah+h^2}{h sqrt{(a+h)^2+1} + h sqrt{a^2 + 1 }}$

Ensuite je simplifie par h
donc j'ai au numérateur : 2a
et au dénominateur : 2a +1
Donc lim h-0 = 1

Et donc f'(a) = 1

Mais est- ce que f'(a)^=f'(x) ?

Non
numérateur 2a
dénominateur Va²+Va²
ce qui donne f'(a) = .....

2a/2a = 1
f'(a) = 1

Non ?

Non
2a/2Va² = a/Va²

Soit f'(x) = x/Vx²

Mais $sqrt{a^2}$ = a non ?

Bonne remarque :
V(a²) = a si a > 0
et -a si a < 0
soit V(a)² = valeur absolue de a

mais j'ai oublié le +1 Les réponses précédentes sont fausses désolé
f'(a) = 2a / 2V(a²+1)
Soit f'(a) = a : V(a²+1)
et f'(x) = x/V(x²+1)

D'accord et merci beaucoup pour ton aide

Tu as rectifié l'erreur.

Bonjour,
oui j'ai rectifié mon erreur, mais j'ai un autre problème le voici.

Ensuite on pose g(x) = x² +1 . Calculer g'(x)
Donc je trouve g'(a)= 2a d'ou g'(x) = 2x

B) Justifier que que g(x) = f²(x)
Or je ne sais ce qu'est f²(x) et comment le calculer.
Merci de ton aide :razz:

Bonjour

f(x) = V(x²+1)
soit f²(x) = ....

Beh tout simplement x²+1
non ? d'ou la justification

Oui, cela permet de vérifier ton calcul.

D'accord , avant de partir j'ai une autre question. On me dit exprimer g'(x) en fonction de f(x) et de f'(x).

Donc si g'(x) =2x

on a g'(x) = $12f2(x)−1/2\frac{1}{2}f^2(x)-1/2$ ? ou je me trompe totalement

La question précise en fonction de f et f'
Ou est f' dans ton expression ?

Ben je savais s'il fallait procéder de cette méthode donc j'attendais de savoir si c'était juste.

g'(x)=2 f'²(x) ?????????????

Non

g'(x) = 2f(x) f'(x)

Vérifie

alors on 2 $sqrt{x^2+1}$ * $xsqrtx2+1\frac{x}sqrt{x^2+1}$

D'ou $2xsqrtx2+1sqrtx2+1\frac {2x sqrt{x^2+1}}{sqrt{x^2+1}}$
= 2x

Donc c'est la réponse.

en déduire f'(x)
donc f'(x) = $g′(x)2f(x)\frac{g'(x)}{2f(x)}$

soit $2x2sqrtx2+1\frac{2x}{2sqrt{x^2+1}}$

Donc on retrouve bien f'(x)= x/vx²+1

Oui c'est Juste.

Attention pour le calcul de g'(x)
Il suffit d'écrire
g(x) = f²(x)
Soit g'(x) = 2f'(x) f(x)

[Oui c'est Juste.

Attention pour le calcul de g'(x)
Il suffit d'écrire
g(x) = f²(x)
Soit g'(x) = 2f'(x) f(x) [/quote]

Ca j'arrive a le comprendre et à le démontrer mais je comprend pas comment tu déduis g'(x) = 2f'(x) f(x) à partir de g(x) = f²(x)

Pour le démontrer, tu calcules la limite de [f²(a+h) - f(a)]/h.