Dérivation et fonction



  • Bonjour j'ai un exercice à faire et je suis bloqué au début donc si quelqu'un pouvait m'aiguiller ce serait sympa.

    Voici l'énoncé :

    Soit la fonction f définie sur mathbbRmathbb{R} par f(x) = sqrtx2+1sqrt{x^2+1}

    1° Démontrer que : f(a+h) - f(a) = 2ah+h2sqrt(a+h)2+sqrta2+1\frac{2ah + h^2}{sqrt{(a + h )^2} + sqrt{a^2 + 1}}

    E déduire le nombre dérivé de f en a. Indiquer f'(x)

    Au début j'ai : f(a+h) - f(a) = sqrta+h)2+1sqrta2+1sqrt{a+h)^2+1} - sqrt{a^2+1}

    Mais ensuite je ne sais pas quoi faire . Quelqu'un peut m'aider ? 😁 Merci



  • Bonjour,
    il manque +1 au dénominateur
    Multiplie et divise ton écriture du début par V[(a+h)²+1] + V(a²+1)



  • Oui en effet il manque +1 au dénomimateur. Mais je ne comprend pas pourquoi il faut multiplier et diviser par sqrt(a+h)2+1+sqrta2+1sqrt{(a+h)^2+1}+sqrt{a^2+1}



  • Oui je crois que j'ai compris c'est parce qu'on a l'identité remarquavle a² - b²
    Non ?



  • On multiplie et on divise par cette expression pour trouver la relation demandée. Cela va nous permettre de trouver la dérivée.



  • J'ai calculé et je trouve le bon résultat. Donc le nomre dérivé de f en a c'est ce nombre divisé par h non ?



  • Oui, tu divises par h et tu calcules la limite quand h tend vers 0.



  • Donc j'ai $\lim_{h\rightarrow {0}$ $\frac{2ah +h^2}{h sqrt{(a+h)^2+1+{a^2+1}}$

    Et après il faut dériver ?



  • Calcule la limite et tu auras le nombre dérivé en a puis tu indiques la dérivée.



  • Le truc c'est que j'ai pas compris les dérivées et que je ne sais pas comment on fait pour calculer une limite



  • Pour le calcul de la limite tu simplifies l'expression par h, puis tu remplaces les h qui reste par 0, et tu obtiens f'(a) = ....



  • j'obtiens $lim_{h \rightarrow {0} \frac{2ah+h^2}{h sqrt{(a+h)^2+1} + h sqrt{a^2 + 1 }}$

    Ensuite je simplifie par h
    donc j'ai au numérateur : 2a
    et au dénominateur : 2a +1
    Donc lim h-0 = 1



  • Et donc f'(a) = 1

    Mais est- ce que f'(a)^=f'(x) ?



  • Non
    numérateur 2a
    dénominateur Va²+Va²
    ce qui donne f'(a) = .....



  • 2a/2a = 1
    f'(a) = 1

    Non ?



  • Non
    2a/2Va² = a/Va²

    Soit f'(x) = x/Vx²



  • Mais sqrta2sqrt{a^2} = a non ?



  • Bonne remarque :
    V(a²) = a si a > 0
    et -a si a < 0
    soit V(a)² = valeur absolue de a

    mais j'ai oublié le +1 Les réponses précédentes sont fausses désolé
    f'(a) = 2a / 2V(a²+1)
    Soit f'(a) = a : V(a²+1)
    et f'(x) = x/V(x²+1)



  • D'accord et merci beaucoup pour ton aide



  • Tu as rectifié l'erreur.



  • Bonjour,
    oui j'ai rectifié mon erreur, mais j'ai un autre problème le voici.

    Ensuite on pose g(x) = x² +1 . Calculer g'(x)
    Donc je trouve g'(a)= 2a d'ou g'(x) = 2x

    B) Justifier que que g(x) = f²(x)
    Or je ne sais ce qu'est f²(x) et comment le calculer.
    Merci de ton aide :razz:



  • Bonjour

    f(x) = V(x²+1)
    soit f²(x) = ....



  • Beh tout simplement x²+1
    non ? d'ou la justification



  • Oui, cela permet de vérifier ton calcul.



  • D'accord , avant de partir j'ai une autre question. On me dit exprimer g'(x) en fonction de f(x) et de f'(x).

    Donc si g'(x) =2x

    on a g'(x) = 12f2(x)1/2\frac{1}{2}f^2(x)-1/2 ? ou je me trompe totalement



  • La question précise en fonction de f et f'
    Ou est f' dans ton expression ?



  • Ben je savais s'il fallait procéder de cette méthode donc j'attendais de savoir si c'était juste.

    g'(x)=2 f'²(x) ?????????????



  • Non

    g'(x) = 2f(x) f'(x)

    Vérifie



  • alors on 2sqrtx2+1sqrt{x^2+1} * xsqrtx2+1\frac{x}sqrt{x^2+1}

    D'ou 2xsqrtx2+1sqrtx2+1\frac {2x sqrt{x^2+1}}{sqrt{x^2+1}}
    = 2x



  • Donc c'est la réponse.


 

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