Montrer que des droites sont parallèles à l'aide des vecteurs



  • Bonjour, j'ai un devoir maison sur les vecteurs a rendre pour la rentrée et je bloque completement, en plus j'ai plusieurs exercices :

    Enonce :

    ABC un triangle. Soit I le milieu d segement [BC].
    Soit J le point tel que AJ=1/5 AC.
    Soit D le point vérifiant 2BD+3CD=8AB
    1- Exprimer le vecteur BD en fonction du vecteur AB et AC, puis construire le point D.
    2- Exprimer le vecteur IJ en fonction du vecteur AB et AC.
    3- Demontrer que les droites (BD) et (IJ) sont parallèles.

    1- J'ai commencer le calcul mais je bloque et doute un peu sur ce que j'ai fait:
    2BD= 3CD+8AB
    = 3(CA+AB+BD)+8AB
    = -3AC+3AB+3BD+8AB

    • -3AC+11AB+3BD
      3/2BD= -3AC+11AB ???

    Merci de votre aide



  • Bonjour,

    1. Attention aux signes :
      2BD= -3CD+8AB
      = -3(CA+AB+BD)+8AB
      = 3AC-3AB-3BD+8AB
      = ....

    2. Applique la même démarche

    3. Compare les résultats obtenus au 1) et 2)



  • Ah ui effecctivement je n'avais pas vu ma faute sur les signes !! :rolling_eyes:

    J'ai ensuite essayer avec tes conseils et donc cela me donne :
    =..
    = 3AC+5AB-3BD
    -3/2= 3AC+5AB

    ???



  • 2BD = = 3AC+5AB-3BD
    Soit 5BD = 5AB + 3AC
    BD = ...



  • BD= AB+3/5AC ??



  • C'est la réponse.

    Cherche maintenant vect IJ.



  • Merci 😄 Je vais maintenant essayer pour IJ



  • Sauf que mon plus gros soucis c'est de trouver les premières lettres.
    La je pensais à IJ=AJ+ .. ( je n'arrive pas à trouver l'autre pour demarrer)⇒ 😕



  • Il faut écrire vect IJ en fonction des vecteurs AB et AC, donc tu utilises A, B et C
    vect IJ = vect IB + vect BA + vect AJ avec vect IB = 1/2 vect CB
    = ....

    Je te laisse poursuivre



  • Merci pour tes conseils !!

    IJ = IB+BA+AJ
    = 1/2CB+BA+AJ
    = 1/2 CB+BA+1/5AC
    1/5AC=1/2CB-AB
    IJ= 1/2CB-AB

    ??



  • J'analyse ta réponse :
    IJ = IB+BA+AJ
    = 1/2CB+BA+AJ
    = 1/2 CB+BA+1/5AC Juste
    .......
    1/5AC=1/2CB-AB Ou est passé IJ ???
    IJ= 1/2CB-AB Non

    A partir de
    IJ = 1/2 CB+BA+1/5AC remplace CB par CA + AB ou -AC + AB



  • Ah oui, je me suis précipitée et j'ai confondus que dans l'énoncé AJ=1/2AC et non IJ ..

    Par contre quand on remplace CB par CA+AB faut-il prendre le 1/2, c'est-à-dire que cela ferait :
    1/2(-AC-AB) +BA+1/5AC ??



  • Oui, il ne faut pas oublier le 1/2
    IJ = 1/2(-AC+AB) -AB+1/5AC



  • = -1/2AC+1/2AB-AB+1/5AC
    = -3/10AC+3/2AB

    ??



  • Une erreur

    IJ= -1/2AC+1/2AB-AB+1/5AC ( 1/2 AB - AB = -1/2AB )
    IJ = -3/10AC- 1/2AB

    Pour la question 3), compare vect IJ et vect BD



  • Pour la question 3) il ne faudrait pas montrer que les vecteurs IJ et BD sont colinéaires ??



  • Bonjour,

    Oui effectivement

    Je n'ai pas fait l'exo mais ... en te servant des 2 questions précédentes :

    en 1) Tu as exprimé le vecteur BD en fonction des vecteurs AB et AC

    en 2) le vecteur IJ en fonction des vecteurs AB et AC.

    Tu devrais trouver le coefficient de proportionnalité entre les vecteurs BD et IJ.

    Et ce sera plus facile en exprimant IJ = -1/2 ( AB + 3/5 AC) d'ailleurs 😉



  • Merci!! Pour moi le coefficient de proportionnalité serait -2 mais je n'en suis pas sur. Dans ce cas ca prouverait que les vecteurs BD et IJ ont colinéaires, mais est-ce que ca suffirait à demontrer que les droites ( IJ) et (BD) sont parallèles ??



  • vect IJ = -1/2 vect BD, ou vect BD = -2 vect IJ

    Le deux vecteurs sont colinéaires, c'est deux vecteurs n'ont pas de point commun, donc les droites (BD) et (IJ) sont parallèles.


 

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