Trouver deux trinômes dont la courbe passe par le même point et est tangente à la même droite

Bonjour, je coince sur un exo et j'accepterais volontier un peu d'aide.

L'énonce est le suivant :
f et g sontdeux fonctions définies sur $mathbb{R}$ par f(x) = x²-2x+3 et g(x) = -x²+6x-5

Grace à géogebra j'ai pu conjecturer que les deux courbes représentant ces fonctions passent par un même point A(2;3) et qu'elles sont tangentes à la même droite.
J'ai calculé l'équation de la tangente y= 2x-1.

3)Et il me faut maintenant trouver deux trînomes dont la courbe passe par le même point et est tangente à la même droite.

Sachant qu'a la question 4 on nous demande de determiner l'ensemble des trînomes vérifiant la propriété.

Voila j'ai aucune idée de la façon dont il faut procéder.
Merci pour votre aide

Bonjour,

Tu poses f(x) =ax²+bx+c
Tu écris les équations à partir des coordonnées du point A et de l'équation de la tangente (coefficient directeur) pour trouver une relation entre a, b et c.

Oui sauf que ça c'est la question 4)

on considère le trinome h(x) = ax²+bx+c avec a non nul, b et c réels;
Determiner l'ensemble des trinômes ayant la propriétée du 3

C'est exact, c'est le début de la question 4, mais il te faut des éléments pour pouvoir proposer deux trinômes.

A partir de l'analyse de f et g cherche des exemples. Cela sera plus long.

Excuse moi mais je ne vois pas ou tu veux en venir, peux tu m'aiguiller un peu plus stp

En utilisant Géogebra, essaie de tracer des paraboles qui passe par A et qui ont y = 2x-1 comme tangente.

Ok donc en fait je trace une parabole y= x² ou y = -x² et je la déplace de façon à ce qu'elle corresponde à ces critères ?

Fais des essais.

je n'arrive à rien aurais tu une idée pour moi ?

Pas évident, au hasard.
Une remarque : la somme de b+c donne 1 ; -2+3 = 1 et 6-5 = 1
Pour le coefficient a, c'est plus délicat.
un exemple
f(x) = 2x²-6x+7 et g(x) = -2x²+10x-9

A vérifier

Oui ça marche mais est-ce que tu pourrais me l'expliquer en détails s'il te plait

L'explication tu l'auras lors de la résolution de la question 4. Fais les calculs indiqués dans mon premier message.

Je suis désolé mais je comprend pas ce que tu veux que j'arrive à faire.

J'ai A(2;3) f(x) = ax²+bx+ +c et Yt = 2x-1 mais après que faire je ne sais pas.

Une petite aide ?

Le point A appartient à la courbe donc ses coordonnées vérifient son équation
A(2;3) f(x) = ax²+bx+ +c , soit 4a + 2b + c = 3
L'équation de la tangente au point A est Yt = 2x-1 donc f'(2) = 2
Calcule la dérivée, puis exprime f'(2) en fonction de a et b.

Qu'elle dérivée ?
la dérivée de f : f'(x) = 2a + bx f'(2)=f'(x) ça doit certainement pas être ça, mais à vrai dire je n'est pas compris le chapitre et là j'ai du mal.

La dérivée de f : f'(x) = 2ax + b ; et comme f'(2)=2
4a + b = 2
Tu as donc deux équations
4a + 2b + c = 3
4a + b = 2
Il reste à exprimer b et c en fonction de a ou a et b en fonction de c.

Alors
4a + 2b -3 = c si cétait là que tu voulais en venir mais je ne pense pas

4a + 2b + c = 3
4a + b = 2
Tu as deux équations et trois inconnues, tu en choisis une comme paramètre (par exemple et tu écris les autres en fonction de celle-ci
a : paramètre
b = 2 - 4a
c = 3 - 2(2-4a) -4a = ..... je te laisse simplifier

Puis tu remplaces b et c dans f(x) = ax²+bx+c

Donc on a c =-1 +4a
soit f(x)= ax²+ 2 -4a -1 +4a
f(x) = ax²+1

Tu as oublié un x
c =-1 +4a
soit f(x)= ax²+ (2 -4a)x -1 +4a

Donc pout tout a ∈ $mathbb{R}$

on a y=ax² + 2x -4ax -1 +4a et toutes ces courbes vérifient la propriétée citée auparavant ainsi j'en déduis les deux courbes que tu m'as donné.
Mais alors qu'en est-il de la question 4 ou il faut determiner l'ensemble des trinomes ayant cette propriété

C'est la réponse à la question 4 que l'on vient de faire.
Pour la question 3, il fallait donner deux exemples. je t'en ai proposé deux.

Tu peux vérifier que le trinôme trouvé est bien solution.

Oui je comprend bien mais je donne comme ça deux trinomes sans explication cela suffit ?

Comment est formulée la question 3 ?

Trouver deux trinômes dont la courbe passe par le même point et est tangente à la même droite.

Donc, il suffit que tu en indiques deux.

D'accord
merci beaucoup et bonnes vacances

Bonnes Vacances

A+