Bonjour, Ta méthode ne me parait pas très simple... Quelques idées éventuelles à creuser Tout d'abord, tu peux prouver facilement (avec les arguments) les équivalences A , B , 0 alignés <=> ab\frac{a}{b} ba​ réel A , B , 0 alignés <=> ba\frac{b}{a} ab​ réel C'es équivalences pourront être utilisées pour la partie directe et la partie réciproque. Soit A , B O alignés (a+b)2ab=a2+b2+2abab\frac{(a+b)^2 }{ab}=\frac{a^2+b^2+2ab}{ab}ab(a+b)2​=aba2+b2+2ab​ En décomposant (a+b)2ab=a2ab+b2ab+2abab\frac{(a+b)^2 }{ab}=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}+\frac{2ab}{ab}ab(a+b)2​=aba2​+abb2​+ab2ab​ En simplifiant (a+b)2ab=ab+ba+2\frac{(a+b)^2 }{ab}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2 ab(a+b)2​=ba​+ab​+2 ab∈R\frac{a}{b} \in Rba​∈R et ba∈R\frac{b}{a} \in Rab​∈R et 2∈R2\in R2∈R donc (a+b)2ab∈R\frac{(a+b)^2 }{ab}\in Rab(a+b)2​∈R CQFD Piste pour la réciproque Soit (a+b)2ab∈R\frac{(a+b)^2 }{ab}\in Rab(a+b)2​∈R Avec la décomposition précédente ab+ba+2∈R\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2 \in Rba​+ab​+2∈R 2 étant réel , tu déduis ab+ba∈R\frac{a}{b}+\frac{b}{a} \in Rba​+ab​∈R Tu peux raisonner par l'absurde pour terminer en prouvant que si ab\frac{a}{b}ba​ n'est pas réel, son inverse ba\frac{b}{a}ab​ n'est pas réel donc que leur somme ne peut pas être réelle conclusion : nécessairement ab\frac{a}{b}ba​ est réel donc A , B, O sont alignés. CQFD