Spé Maths Nombre de Sophie Germain

Re : Spé maths nombres de Sophie germain

Bonjour, j'ai le même devoir que vous, je comprends votre raisonnement mais cependant je ne comprends pas pourquoi vous faites intervenir le nombre p ?

Je rappelle l'exercice, Pour n entier naturel, on considère le nombre N=n^4+4.
1)a. montrer que si n est un multiple de 10, alors N est un multiple de 4.

J'ai répondu ceci :
Si n est un multiple de 10 alors n=k10 ou k€N
alors N=(10k)^4+4 ce équivaut successivement à
N=2^4 x 5^4 x k^4+4
N= 4(2^2 x 5^4 +k^4 + 4)

b. En étudiant le dernier chiffre de N en fonction de celui de n, démontrer que N est un multiple de 5 si et seulement si n n'est pas un multiple de 5.

J'ai donc décidé d'étudier tous les cas de a (correspond au dernier chiffre de) c'est à dire a compris entre 0 et 9 inclut

pour a = 0, c'est simple ca signifie que n est un multiple de 10. Donc le chiffre des unites de n est 0, celui de n^4 est 0 et celui de n^4+4 est 4
pour a=1, j ai pensé à écrire n=10^k + a = 10^k + 1

mais je bloque a cet endroit, je sais que le dernier chiffre de N sera 5 car 1^k = 1 mais je ne sais pas comment exprimer ce calcul.

Merci beaucoup de votre aide

Bonjour Thomas-Clsr

Pour la question 1) a. Une erreur à la fin N = $4(2^2 5^4k^4 + 1)$
pour la question b)
N est un multiple de 5 si $n^4 - 1$ est un multiple de 5
factorise $n^4 - 1$

je suis d'accord seulement, on me demande d'étudier cas par cas, donc je dois determiner le dernier chiffre de N pour a allant de 0 à 9.

@thomas-clsr ,

Tu factorises puis tu remplaces n par les chiffres de 0 à 9.

Je dois factoriser l'expression de N ? N= n^4+4 ?

Non,
Tu factorises $n^4 - 1$ = $n^2 - 1)(n^2 + 1)$ = .....

@Noemi bonsoir, j'ai apparemment le même sujet que notre ami Thomas, et je ne vois bien comment procéder après la factorisation $n^4-1=(n^2-1)(n^2+1). Pourrais-tu m'éclairer ?

Bonsoir rené-herbert,

$n^4 - 1 = (n^2-1)(n^2+1) = (n-1)(n+1)(n^2+1)$

@Noemi merci, c'est plus clair maintenant

@Noemi sinon, je pensais résonner par congruences: si N est un multiple de 5 alors $n^4 -1≡0[5]$
Par compatibilité avec la somme,
$n^4≡1[5]$
Mais je ne suis pas sûr de cette étape :
Par compatibilité avec les puissances,
$n≡1^-4[5]$
Donc n n'est pas un multiple de 5?

Réciproquement : si n est un multiple de 5,
n≡0[5]
$n^4≡0[5]$
$n^4+4≡4[5]$
Donc N n'est pas un multiple de 5

@rené-herbert

Tu dois étudier les différents cas :
si $n = 5 k + 1$ , $n - 1 = 5 k$ donc N est un multiple de 5
si $n = 5 k + 2$ , .....
....

@Noemi mon sujet est un peu différent, je peux traiter dans le cas général "montrer que N est un multiple de 5 si et seulement si n n'est pas un multiple de 5"

@rené-herbert

C'est le cas général, tu étudies pour $n = 5 k + 1$ puis pour $n = 5 k + 2$
jusqu'a $5 k + 4$ .
Puis le cas $5 k$ qui est évident.

@Noemi donc la méthode congruences ne marche pas?

@rené-herbert

Tu utilises les congruences en écrivant $n4−1≡0[5]n^4-1 \equiv 0[5]$
puis en décomposant $n^4-1$ .

@Noemi ok merci pour ton aide

@rené-herbert

Tu as fait les 5 cas ?

@Noemi c'est bon j'ai compris, en fait dans tous les cas autres que n=5k, N≡0[5].
Du coup ça traite toutes les possibilités et pas besoin de réciproque.
J'ai tout de même une question, est ce que c'est mathématiquement correct d'écrire que si:
$n^4≡1[5]$ alors
$n≡1^(-4)[5]$ ?

@rené-herbert je n'arrive pas a écrire une puissance négative...
"n est congru a 1 exposant (-4) modulo 5"

@rené-herbert

Non, c'est faux.

@Noemi ok merci, j'aurais fait une belle bourde sans toi

@rené-herbert

Ok à +