Fonction exponentielle

[tirkoz]

Bonjour
Je viens de commencer un nouveau thème en cours, celui des fonctions exponentielles. J'ai un exercice à faire mais je ne vois pas comment m'y prendre. Pourriez-vous m'aider?

Soit f la fonction définie sur par f(x) = $\frac{e^x-1}{e^x+1}$

1. Démontrer que f est une fonction impaire.
2. Démontrer que pour tout x, f(2x)=$\frac{2f(x)}{1+(f(x){)}^2}$
3. Pour x et y réels, exprimer f(x+y) en fonction de f(x) et f(y).

Concernant la une fonction impaire, je sais que f(-x)=-f(x).
Il faut que je prouve l'égalité?
Concernant les deux autres questions, je cale complètement….

Merci à celui ou celle qui m'aidera^^

[Noemi]

Bonjour tirkoz,

1. Exprime $f(-x)$ puis utilise le fait que $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$.
2. Exprime $f(2x)$

Indique tes éléments de réponse.

[tirkoz]

@noemi J'espère que tu pensais à cela:
f(-x)= $\frac{1/e^x-1}{1/e^x+1}$ (dsl j'ai pas réussi à mettre la deuxième fraction)
f(2x)= $\frac{e2x-1}{e^{2}x+1}$

[Noemi]

@tirkoz,

1. Pour $f(-x)$tu réduis au même dénominateur
   $f(-x)$=$\frac{1-e^x}{1+e^x}$ = $-f(x)$ donc .....

2. Cherche l'expression de $\frac{2f(x)}{1+(f(x){)}^2}$ = ....

[tirkoz]

@noemi
Pour la une, on en conclu que la fonction est impaire.
Pour la deux, je ne veux pas passer pour celui qui ne fait pas d'effort mais je ne trouve pas. J'ai essayé de remplacer f(x) par la fonction donné précédemment mais cela me donne un "truc" compliqué avec des fractions et des puissances

[Noemi]

@tirkoz

$\frac{2f(x)}{1+(f(x){)}^2}$ = $2(\frac{e^x-1}{e^x+1})$ x $\frac{(e^x+1{)}^2}{2(e^{2x}+1)}$
Je te laisse simplifier l'expression.

[tirkoz]

@noemi
2. Après simplification je trouve : $\frac{(e^x-1)\ast (e^x+1)}{e{(}^{2}x)+1}$ et cela est égale à f(2x).

[Noemi]

@tirkoz,
en utilisant les identités remarquable tu peux écrire comme numérateur :
$e^{2x}-1$
et tu retrouves ainsi l'expression que tu as notée pour $f(2x)$.

As tu trouvé l'expression de $f(x+y)$ en fonction de $f(x)$ et $f(y)$ ?

[tirkoz]

@noemi
Pour la deux je n'ai pas utilisé l'identité remarquable ici. Je l'ai plutôt utilisé sur f(2x) directement pour retrouver le résultat que j'ai mis précédemment.
Concernant la trois je vois bien ce qu'il faut faire, trouver f(x) puis f(y) puis les rassembler mais je n'y arrive pas.

[Noemi]

@tirkoz,

Pour la question 3, tu peux utiliser la relation démontrée à la question 2 et vérifier que :
$f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}$.

[tirkoz]

@noemi

J'ai 2 idées qui me viennent en tête :

1. je pars de la question 2 soit f(2x)= $\frac{2f(x)}{1+(f(x){)}^2}$
   f(x+x)= $\frac{f(x)+f(x)}{1+f(x)\ast f(x)}$
   donc f(x+y)= $\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)\ast f(y)}$

2. f(x)=f(x+x)=$\frac{e^x-1}{e^x+1}$ et f(y)=$\frac{e^y-1}{e^y+1}$
   donc f(x+y)=$\frac{e^x-1}{e^x+1}$+$\frac{e^y-1}{e^y+1}$

[Noemi]

@tirkoz

C'est la première proposition qui est correcte mais tu dois vérifier ou démontrer la deuxième relation qui correspond à celle que j'ai noté dans mon précédent post.
Tu écris la relation avec le membre de gauche puis à partir de l'expression du membre de droite, tu retrouves l'expression du membre de gauche.

[tirkoz]

@noemi
Je suis désolé mais je n'ai pas compris ce que vous vouliez me dire.
Il faut que je parte de f(2x)= $\frac{2f(x)}{1+(f(x){)}^2}$ pour aboutir à f(x+y)= $\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)\ast f(y)}$

[Noemi]

@tirkoz

Ecris $f(x+y)=....$
puis $\frac{f(x)+f(y)}{1+f(x)f(y)}=....$
et tu compares les résultats.

[tirkoz]

@noemi
J'ai développé la deuxième relation mais je trouve quelque chose de compliqué :
$\frac{2e^{x+y}-2}{e^x+y+e^x+e^y+1}$x$\frac{e^{x+y}+e^x+e^y+1}{e^{x+y}-e^x-e^y+1}$

[Noemi]

@tirkoz

Procède par étapes
le numérateur
$f(x)+f(y)=\frac{e^x-1}{e^x+1}+\frac{e^y-1}{e^y+1}$
si tu réduis au même dénominateur après simplification tu trouves :
$f(x)+f(y)=\frac{2(e^{x+y}-1)}{(e^x+1)(e^y+1)}$
le résultat pour le dénominateur
$1+f(x)\times f(y)=\frac{2(e^{x+y}+1)}{(e^x+1)(e^y+1)}$

Je te laisse faire la division et simplifier pour retrouver l'expression de $f(x+y)$.

[tirkoz]

@noemi
J'ai réussi^^
Merci beaucoup pour votre aide et pour y avoir passé du temps.

[Noemi]

@tirkoz,

L'essentiel, c'est que tu aies compris l'ensemble des calculs.