Une propriété de la fonction exponentielle (suite)

[kobalad]

Bonjour,
Voilà quelques temps maintenant que j’essaye de réaliser un exercice de mathématiques, mais rien à faire, je n’arrive pas à comprendre par où commencer ou bien tous les essais que je fait sont peu concluants.

Pour mon exercice, il faut chercher à démontrer que pour tout entier $n$ et tout réel $a$, on a $e^{na}$ = $(e^a{)}^n$

Avec $a$ un réel et la suite $(U_n)$ définie pour tout entier naturel par $U_n$ = $e^{na}$

Pour ça, je dois répondre à 4 questions que voici :
1 . Pour tout $n$, exprimer $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$

J’aurais voulu pour celle-ci utiliser la formule des suites géométriques $\frac{U_{n+1}}{U_n}$ = constante, mais je ne sais pas comment y parvenir et n’y même si c’est ce qu’il faut faire.

2 . En déduire la nature de la suite $(U_n)$.

Je pense être capable de faire cette question par moi-même, mais je ne peux encore pas y répondre puisque je n’ai pas fini la question une.

3 . Déterminer le premier terme $U_0$ et la raison $q$ de cette suite.

4 . En déduire une expression de $U_n$ en fonction de $U_0$ et $q$, puis conclure.

Je ne comprends pas très bien cette question, je sais que je dois conclure que pour tout entier $n$ et tout réel $a$, on a $e^{na}$ = $(e^a{)}^n$, mais je ne comprends pas la démarche.

Je sais que c’est beaucoup demandé, mais j’espère que vous pourrez vraiment m’aider, merci beaucoup !

[Noemi]

Bonjour kobalad

1. Utilise le fait que $U_{n+1}=e^{(n+1)a}=e^{na}\times e^a$

[mtschoon]

Bonjour,
Quelques pistes complémentaires pour @kobalad ou d'autres pour consultation, vu l'absence de cours en ce moment.

La pré-requis n'est pas indiqué dans la question.
Pour traiter cet exercice simplement, il faut connaître la propriété usuelle:
Pour tout a réel et pour tout b réel : $e^{a+b}=e^a\times e^b$

Si cette propriété n'est pas connue, une démonstration en vidéo est faite ici :
https://www.youtube.com/watch?v=jbK2mUhcp-0

Question 1)
@Noemi a indiqué la piste pour cette question.
En utilisant le pré-requis:
$U_{n+1}=e^{(n+1)a}=e^{na}\times e^a$

Donc $\boxed{U_{n+1}=U_n\times e^a}$

Question 2)
La suite $(U_n)$ est donc géométrique.
Si on le souhaite (vu que $U_n>0$ pour tout n de N , donc $U_n\ne 0$ pour tout n de N), on peut écrire:
$\frac{U_{n+1}}{U_n}=e^a$

Question 3)
$U_0=e^{0a}=e^0=1$
$U_{n+1}=q{U}_n$ la raison de la suite géométrique est donc $q=e^a$

Question 4)
$U_n=U_0\times q^n=1\times (e^a{)}^n=\boxed{(e^a{)}^n}$

Or, $U_n=\boxed{e^{na}}$

CONCLUSION :

$\boxed{e^{na}=(e^a{)}^n}$