Démontrer une dérivée

[Livindiam Livin]

Bonjour

Je dois démontrer que la dérivée de g(x)= Vx/x=1 est égale à
g'(x)= ((1-x)Vx)/2x(x+1)^2 avec V pour racine carré

Dans un premier temps j"ai montrer qu'on utilise la formule avec u'v-uv'/v^2 avec u'(x)=1/2VX et v'(x)= 1

Avez vous des pistes pour que je commence à développer et réduire car les résultats intermédaires que j'ai obtenu n'aboutissent pas à qqchose ressemblant au résultat final...

[Noemi]

@Livindiam-Livin Bonjour,

Attention à l'écriture : je suppose que $g(x)=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$
le début est juste :
$u(x)=\sqrt{x}$, $u^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$v(x)=x+1$ et $v^{\prime }(x)=1$
$u^{\prime }v-u{v}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}$
Tu réduis au même dénominateur, puis tu rends le dénominateur rationnel (ou l'inverse).

[Livindiam Livin]

@Noemi Ne dois-je pas mettre le tout dès le début sur (x+1)^2 ?

J'ai d'abord tout mis sur (x+1)^2 et ensuite j'ai "séparé"
(1/2Vx/(x+1)^2 X ((x+1)-Vx)/(x+1)^2 mais je reste coincé ici.

[Noemi]

@Livindiam-Livin

Tu peux mettre le dénominateur $(x+1{)}^2$ à la fin.

$u^{\prime }v-u{v}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}$

$u^{\prime }v-u{v}^{\prime }=\frac{\sqrt{x}}{2x}(x+1)-\sqrt{x}$

$u^{\prime }v-u{v}^{\prime }=\frac{\sqrt{x}}{2x}(x+1)-\frac{2x\sqrt{x}}{2x}$

$u^{\prime }v-u{v}^{\prime }=\frac{\sqrt{x}}{2x}(x+1-2x)$

Tu simplifies puis tu écris $g^{\prime }(x)=....$

[Livindiam Livin]

@Noemi Je vais effectué le calcul mais je ne comprends juste pas pourquoi le 2VX passe au numérateur ?

[Noemi]

@Livindiam-Livin

C'est pour ne pas laisser un terme avec un radical au dénominateur :
Pour $x$ strictement positif
$\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1\times \sqrt{x}}{\sqrt{x}\times \sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}}{x}$

[Livindiam Livin]

@Noemi En simplifiant la parenthèse on a 1-x et on le met au numérateur et ensuite on rajoute le (x+1)^2 qui n'était pas présent

[Noemi]

@Livindiam-Livin

Oui

$u^{\prime }v-u{v}^{\prime }=\frac{\sqrt{x}}{2x}(x+1-2x)=\frac{\sqrt{x}}{2x}(1-x)$

puis $g^{\prime }(x)=\frac{(1-x)\sqrt{x}}{2x(x+1{)}^2}$

[Livindiam Livin]

@Noemi C'est compris merci !