résoudre équation avec cos et sin

Bonjour !

Je suis en train de résoudre un exercice, j'aimerais savoir si je ne suis pas sur la mauvaise voie.

Tout d'abord voici le début de l'énoncé :

On considère l'équation (E) : 2sin^2 (x) + sin (x) -1 = 0

On doit résoudre cette équation dans l'intervalle [0,2pi[

On pose X = sin (x)

Question 1 changé l'équation avec X = sin (x)
: J'ai donc changé l'équation (comme demandé) en 2X^2 + X -1 = 0

Question 2 : Résoudre l'équation
Ensuite j'ai résolu en faisant delta et en trouvant x1=-1 et x2=1/2

Ensuite on nous demande en question 3 de déterminer les solutions dans l'intervalle donné ci dessus.

Dans un premier temps, les réponses sont-elles justes ?
Ensuite, faut-il pour cette intervalle donner en solutions des résultats avec 2Kpi ?
Les questions suivantes de l'exercice sont similaires mais avec cos (je les mettrais si besoin plus tard)

Merci pour toutes aides !

@Livindiam-Livin Bonjour,

Les réponses sont correctes.
Il reste à résoudre :
$s i n (x) = - 1$ et $\dfrac{1}{2}$
Tu calcules les solutions générales puis celles sur l'intervalle indiqué.

@Noemi sin(x) = -1 pour x= -pi/2 et sin(x)= 1/2 pour x = pi/6 et dans l'intervalle je fais -pi/2 + 2kpi et pi/6 + 2kpi ?

@Livindiam-Livin

Attention, pour $sin(x)=12sin(x)=\dfrac{1}{2}$ tu as deux solutions, il manque : $\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$
Pour déterminer les solutions sur l'intervalle $[0;2π][0;2\pi]$ ,tu fais varier $k$ .

@Noemi ainsi je rajoute 2kpi après les trois solutions ? Merci

@Livindiam-Livin

Ecrire $x=−π2+2kπx=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ correspond à l'ensemble des solutions de l'équation.
Il faut déterminer celles qui appartiennent à l'intervalle $[0;2π][0;2\pi]$
si $k = 0$ ; $x=−π2x=-\dfrac{\pi}{2}$ valeur qui n'appartient pas à l'intervalle.
si $k = 1$ ; $x = . . . .$

Je te laisse poursuivre.

@Noemi Je n'ai pas très bien compris...Je vais essayer de faire un cercle trigonométrique

@Livindiam-Livin

Oui, place chaque solutions sur le cercle trigonométrique et déduis-en les valeurs correspondantes de $x$ .

@Noemi je ne parvient pas à visualiser sur mon cercle l'intervalle 0, 2pi

Est ce toute la partie droite ?

@Livindiam-Livin Ensuite, on nous demande de déterminer avec un raisonnement analogue les solutions de l'équation (F) = cos^2 (x) + 2sin^2 (x) = 2 dans l'intervalle [-pi,pi]

J'ai repris le même cheminement que pour la première partie en posant cette foi-ci Y = cos (x)
soit Y^2 + 2X^2 -2 = 0
Ensuite, j'ai essayé de résoudre cette équation de deux façons :

1e façon : je me suis aidée de la partie précédente avec 2X^2 + X -1 = 0
2X^2 = -X +1

A partir de là j'ai changé 2X^2 par -X+1 ce qui me donne

Y^2 - X - 1 = 0

j'ai fait delta mais les résultats que je trouve me semblent étranges à savoir
x1 = 1 - racine de 5 / 2 et x2 = 1 + racine de 5 / 2

J'ai essayé d'une autre façon avec cos ^2( x) + sin^2 (x) =1
- sin ^2(x) + 1 = cos ^2 (x)
- sin ^2 (x) +1 - sin (x) -1 = 0 en utilisant la formule du cours du théorème de pythagore
- sin ^2 (x) - sin (x) = 0

Puis j'ai fait delta et trouvé x1 = 0 et x2 = -1
Merci pour tout feed-back/conseils/aides : j'ai essayé d'être le plus claire possible dans mon raisonnement, n'hésiter pas à faire des remarques si quelque chose est flou

@Livindiam-Livin Bonjour

Pour le cercle trigonométrique, regarde ce cours : https://www.mathforu.com/seconde/cercle-trigonometrique/

Pour l'autre question.
En utilisant la relation $cos^2(x)+sin^2(x)= 1$ l'expression devient :
$sin^2(x)+1=2$ , soit $sin^2(x)= 1$
Equation à résoudre

Bonjour,

@Livindiam-Livin , si ça peut t'éclairer je te fais une représentation graphique des solutions sur le cercle trigonométrique.

Pour la première équation, les solutions, sur $R$ , sont :
a) $x=π6+2kπx=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ et $x=5π6+2kπx=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$ , $k∈Zk\in Z$
Pour avoir les solutions sur $I=[0,2π[I=[0,2\pi[$ , on prend $k = 0$ ce qui donne $x=π6x=\dfrac{\pi}{6}$ et $x=5π6x=\dfrac{5\pi}{6}$
b) $x=−π2+2kπx=-\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ , $k∈Zk\in Z$
Pour avoir la solution sur $I=[0,2π[I=[0,2\pi[$ , on prend $k = 1$ ce qui donne $x=3π2x=\dfrac{3\pi}{2}$

Pour illustrer l'intervalle $I=[0,2π[I=[0,2\pi[$ :
$(OA→,OM→)(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})$ a une mesure $x$ comprise entre $0$ et $2π2\pi$
$M$ part de $A$ pour $x = 0$ , $M$ se déplace dans le sens trigonométrique (voir "flèche avec +"), $M$ est en $B$ pour $x=π2x=\dfrac{\pi}{2}$ , $M$ est en $C$ pour $x=πx=\pi$ , $M$ est en $D$ pour $x=3π2x=\dfrac{3\pi}{2}$ et arrive ne $A$ pour $x=2πx=2\pi$ (non pris dans l'intervalle , car crochet ouvert).

Sur cet intervalle I, les solutions sont :
lorsque $M$ est en $(x=π6)E\ \boxed{(x=\dfrac{\pi}{6})}$ ,
lorsque $M$ est en $F$ $(x=π−π6=5π6)\boxed{(x=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6})}$ et
lorsque $M$ est en $D$ $(x=3π2)\boxed{(x=\dfrac{3\pi}{2})}$

Pour la seconde équation,
$sin^2(x)=1$ <=> $s i n (x) = 1$ ou $s i n (x) = - 1$
Sur $R$ , les solutions sont $x=π2+2kπx=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ , $k∈Zk\in Z$ et $x=−π2+2kπx=\dfrac{-\pi}{2}+2k\pi$ , $k∈Zk\in Z$

Cette fois, il faut obtenir les solutions sur $J=[−π,π[J=[-\pi,\pi[$ ; il faut donc prendre![text alternatif](url de l'image) $k = 0$ et l'on obtient $x=−π2x=-\dfrac{\pi}{2}$ et $x=π2x=\dfrac{\pi}{2}$

Pour illustrer l'intervalle $J=[−π,π[J=[-\pi,\pi[$ :
$(OA→,OM→)(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})$ a une mesure $x$ comprise entre $−π-\pi$ et $π\pi$

$M$ part de $C$ pour $x=−πx=-\pi$
$M$ se déplace dans le sens trigonométrique .
$M$ est en $D$ pour $x=−π2x=-\dfrac{\pi}{2}$ , $M$ est en $A$ pour $x = 0$ , $M$ est en $B$ pour $x=π2x=\dfrac{\pi}{2}$ , et $M$ arrive en $C$ pour $x=πx=\pi$ (non pris dans l'intervalle , car crochet ouvert).

Sur cet intervalle J, les solutions sont :
lorsque M est en $(x=−π2)D\ \boxed{(x=-\dfrac{\pi}{2})}$ et lorsque M est en $\ \boxed{(x=\dfrac{\pi}{2})}$

Bonnes réflexions éventuelles.

@mtschoon Donc pour l'intervalle c'est un peu comme si c'était un tour complet sans prendre les solutions de 2pi ?

De plus au lieu d'écrire 3pi/2 peut on écrire -pi/2 ?

@Livindiam-Livin Je ne comprends pas pourquoi on prend pour k=1 et pas pour k=0 comme pour les deux autres solutions

@mtschoon Pour cette question j'ai bien compris merci !

@Livindiam-Livin , j'essaie de répondre à tes deux questions.

Première équation, par exemple :
Pour $x∈Ix\in I$ avec $[0,2\pi]$ , le point $M (x)$ peut faire un tour entier de la position $A (x = 0$ ) jusqu'à la position $(x=2\pi)$ ,en "tournant" dans le sens positif (trigonométrique).
Les solutions de l'équation doivent appartenir à cet intervalle $I$

Je prends des valeurs approchées (ce qu'il ne faut pas faire dans un devoir) pour te faire comprendre.
$2π≈6.282\pi\approx 6.28$ d'où $I≈[0,6.28[I\approx[0,6.28[$
$π6≈0.52\dfrac{\pi}{6} \approx 0.52$
$5π6≈2.62\dfrac{5\pi}{6} \approx 2.62$
$3π2≈4.71\dfrac{3\pi}{2} \approx 4.71$
C'es 3 valeurs approchées 0.52, 2.62, 4.71 sont bien comprises entre 0 et 6.28 ; elle conviennent.
Si tu avais pris comme mesure, pour le point D la valeur $−π2-\dfrac{\pi}{2}$ , elle n'aurait pas convenue car $−π2-\dfrac{\pi}{2}$ est une valeur négative ( voisine de -1.57) qui n'est pas comprise entre 0 et 6.28.

Lorsque tu as les solutions sur $R$ , tu déduis les valeurs de k pour que les solutions appartiennent à l'intervalle demandé.

Reposte si besoin.

@Livindiam-Livin ,

Je tapais ma dernière réponse pendant que tu indiquais :

@Livindiam-Livin a dit dans résoudre équation avec cos et sin :

@mtschoon Pour cette question j'ai bien compris merci !

Si c'est le cas, c'est parfait, sinon reposte.

@mtschoon J'ai compris merci

Donc, c'est parfait !