B
Bonjour,
Approche pour un peu simplifier le système :
a) Si x = 0,
la 1ère dérivée partielle (par rapport à x) = 0
la 2ème (par rapport à y devient) : 8y^7 + 6y^5 + 12y³ + 4y = 0
2y(4y^6 + 3y^4 + 6y² + 2) = 0
y = 0 convient
4y^6 + 3y^4 + 6y² + 2 = 0 --> en posant y² = Y
4Y³ + 3Y² + 6Y + 2 = 0 (qui peut être résolu par exemple par Cardan)
Il n'y a pas de solution réelle positive et donc pas de valeur de Y = y² qui convient différente de 0 (avec x = 0)
Si y = 0, la 2eme dérivée partielle (par rapport à y) = 0
la 1ère (par rapport à x devient) : 8x^7 + 12x^5 + 12x³ - 8x = 0
4x(2x^6 + 3x^4 + 3x² - 2) = 0
x = 0 convient
2x^6 + 3x^4 + 3x - 2 = 0
en posant x² = X --> 2X³ + 3X² + 3X - 2 = 0 (qui peut être résolue par Cardan)
... Ici il y a une solution réelle positive X = 0,4294445... (on a la valeur exacte acvec radical par Cardan)
--> x² = 0,4294445...
X= +/- 0,65532...
Il a donc au moins 3 points critiques en (0 ; 0) , (-0,65532... ; 0) et (0,65532... ;0)
b) si x et y différents de 0, on peut simplifier le système qui devient :
8x^6 - 8y^4.x² + 12x^4 - 8y².x² - 4y^4 + 12x² - 4y² - 8 = 0
8y^6 - 8x^4.y² + 6y^4 - 4x^4 - 8x²y² + 12y² - 4x² + 4 = 0
En posant x² = X et y² = Y, on obtient :
8X³ - 8Y².X + 12X² - 8XY - 4Y² + 12X - 4Y - 8 = 0
8Y³ - 8X².Y + 6Y² - 8XY - 4X² + 12Y - 4X + 4 = 0
Avec X et Y > 0
On n'est encore nulle part ... mais on a des exposants 3 max au lieu de 7 max.
Je n'ai rien vérifié ...
