Bonjour,
@Mariem-jabloun , je comprends tout à fait la réaction de @Black-Jack.
Les retours à nos réponses sont rares...
Par exemple, sur le topic qui a été mis en lien, tu aurais dû nous donner des informations complémentaires vu qu'il avait un problème relatif à la déduction demandée. Tu ne l'as pas fait.
Dans le topic présent, je suppose que tu as déjà démontré la convergence de la suite (Un)(U_n)(Un) ( suite à termes positifs, décroissante).
Je regarde ce que je crois être le début de ta question :
Montrer que U1n≤Un≤1n\boxed{\dfrac{U_1}{n}\le U_n\le \dfrac{1}{n}}nU1≤Un≤n1
(Un)3+nUn−1=0(U_n)^3+nU_n-1=0(Un)3+nUn−1=0
En divisant par nnn non nul : (Un)3n+Un−1n=0\dfrac{(U_n)^3}{n}+U_n-\dfrac{1}{n}=0n(Un)3+Un−n1=0
En transposant : Un−1n=−(Un)3nU_n-\dfrac{1}{n}=-\dfrac{(U_n)^3}{n}Un−n1=−n(Un)3
−(Un)3n≤0-\dfrac{(U_n)^3}{n}\le 0 −n(Un)3≤0 donc Un−1n≤0U_n-\dfrac{1}{n}\le 0Un−n1≤0 donc Un≤1n\boxed{U_n\le \dfrac{1}{n}}Un≤n1
Pour montrer l'autre inégalité, on utilise
(U1)3+U1−1=0(U_1)^3+U_1-1=0(U1)3+U1−1=0 et (Un)3+nUn−1=0(U_n)^3+nU_n-1=0(Un)3+nUn−1=0
Vu que la suite (Un)(U_n)(Un) est décroissante, U1≥UnU_1\ge U_nU1≥Un donc
(U1)3n≥(Un)3n\dfrac{(U_1)^3}{n}\ge \dfrac{(U_n)^3}{n}n(U1)3≥n(Un)3
−(U1)3n≤−(Un)3n-\dfrac{(U_1)^3}{n}\le -\dfrac{(U_n)^3}{n}−n(U1)3≤−n(Un)3
U1−1n≤nUn−1n\dfrac{U_1-1}{n}\le \dfrac{nU_n-1}{n}nU1−1≤nnUn−1
U1n−1n≤Un−1n\dfrac{U_1}{n}-\dfrac{1}{n}\le U_n-\dfrac{1}{n}nU1−n1≤Un−n1
U1n≤Un\boxed{\dfrac{U_1}{n}\le U_n}nU1≤Un
Ensuite, tu tires les conclusions :
(Un)(U_n)(Un) converge vers 0 et (nUn)(nU_n)(nUn) converge vers 1
Tu poursuis.