Bonjour,
Cet exercice est un classique.
On le trouve un peu partout sur le web, en 2004, 2008, 2014,...
Par exemple ici , il y a 3 ans :
https://math.stackexchange.com/questions/3796196/how-can-i-resolve-this-equation-z4-2z3-7z2-−-18z-26-0-where-there
L'énoncé doit demander de calculer P(1+i)P(1+i)P(1+i)
On trouver P(1+i)=0P(1+i)=0P(1+i)=0
1+i\boxed{1+i}1+i est donc solution de l'équation P(z)=0P(z)=0P(z)=0
La première question traitée permet de déduire que 1−i\boxed{1-i}1−i est aussi solution de l'équation P(z)=0P(z)=0P(z)=0
P(z)=0P(z)=0P(z)=0 peut donc se transformer en : (z−(1+i))(z−(1−i))(az2+bz+c)=0(z-(1+i))(z-(1-i))(az^2+bz+c)=0(z−(1+i))(z−(1−i))(az2+bz+c)=0
Par exemple par identification, on peut trouver les valeurs de a,b,ca,b,ca,b,c
Après calculs a=1,b=−4,c=13a=1,b=-4,c=13a=1,b=−4,c=13
On résout l'équation du second degré z2−4z+13=0z^2-4z+13=0z2−4z+13=0
Après calculs; Δ=−36=(6i)2\Delta=-36=(6i)^2Δ=−36=(6i)2
Deux solutions 2+3i\boxed{2+3i}2+3i et 2−3i\boxed{2-3i}2−3i
On a obtienu ainsi les 4 solutions de l'équation :
z4−6z3+23z2−34z+36=0\boxed{z^4-6z^3+23z^2-34z+36=0}z4−6z3+23z2−34z+36=0
Bons calculs à tous ceux qui souhaitent les faire .