Bonjour,
Illustration graphique avec quelques valeurs de nnn
Remarque ,
Il était possible, pour trouver les points communs, de commencer par prendre, par exemple, n=1n=1n=1 et n=2n=2n=2 et de résoudre le système :
{y=xe−xy=x2e−x\begin{cases} y=xe^{-x}\cr y=x^2e^{-x}\end{cases}{y=xe−xy=x2e−x
On trouve ainsi les couples (x,y)(x,y)(x,y) solutions : (0,0),(1,e−1)(0,0), (1,e^{-1})(0,0),(1,e−1)
Ensuite on vérifie que ces couples sont satisfaisants pour tout nnn de N∗N^*N∗ car :
fn(0)=0f_n(0)=0fn(0)=0 et fn(1)=e−1f_n(1)=e^{-1}fn(1)=e−1