J'espère oakley, qu'avec l'aide, tu es arrivé au bout de cet exercice.
Un conseil, pour le cas où ton énoncé ne te donne aucune aide, mais à condition de connaître les équations différentielles.
La variable est t
Tu as l'équation différentielle : N′=αN−N2N'=\alpha N-N^2N′=αN−N2 (***)
Tu poses N=1yN=\frac{1}{y}N=y1 donc N′=−y′y2N'=-\frac{y'}{y^2}N′=−y2y′
(***) se transforme en −y′y2=α(1y)−(1y)2-\frac{y'}{y^2}=\alpha (\frac{1}{y})-(\frac{1}{y})^2−y2y′=α(y1)−(y1)2
En mltipliant par y2y^2y2 et en changeant les signes, tu dois arriver, sauf erreur, à $\fbox{y'=-\alpha y+1}$
Equation différentielle du type y′=ay+by'=ay+by′=ay+b
Par théorème y=Ceat−bay=Ce^{at}-\frac{b}{a}y=Ceat−ab avec C constante réelle.
Ici, tu dois obtenir :
y=Ce−αt+1αy=Ce^{-\alpha t}+\frac{1}{\alpha}y=Ce−αt+α1
Tu tires les conclusions :
1N=Ce−αt+1α\frac{1}{N}=Ce^{-\alpha t}+\frac{1}{\alpha}N1=Ce−αt+α1
En prenant l'inverse, tu obtiens N
En donnant à t la valeur 0, tu obtiens la valeur de C
En faisant tendre t vers +∞+\infty+∞, tu dois trouver que N tend vers α\alphaα
Bons calculs.
