S
Bonjour,
Avant tout, si le vocabulaire n'a pas changé depuis mon époque, la question est mal posée. Notons v1=(1,-1,1),v2=(2,1,3), etc. Vect(v1,..,v4) est un espace vectoriel. Il n'est donc ni libre ni lié. C'est la FAMILLE (v1,...,v4) dont on peut de demander si elle est libre ou liée
Je ne sais pas si tu as vu la notion de dimension d'un espace vectoriel. Quoiqu'il en soit, tu ne seras certainement pas surpris si je te dis que :
Le plan (du collège) est de dimension deux. Si je me donne deux vecteurs v1,v2 du plan tels que pour tout a,b réels, v2 diff/ a.v1 et v1 diff/ b.v2, je pourrai exprimer n'importe quel autre vecteur comme combinaison linéaire de v1,v2. Deux remarques : (i) tu peux, et tu devrais, vérifier en t'appuyant sur tes connaissances géométriques (non fondées) que ce qu'on vient d'affirmer est vrai. Si cela ne te paraît pas intuitivement EVIDENT, c'est qu'il manque un petit déclic CRUCIAL auquel il faut remédier. (ii) La condition v2 diff/ a.v1 et v1 diff/ b.v2 est un peu lourde, surtout quand on envisage la généralisation 2->n. Vérifie que la proposition "Pour tout a,b réels, v2 diff/ a.v1 et v1 diff/ b.v2" est équivalente à "Si x,y sont des réels tels que x.v1+y.v2=0, alors x=0 et y=0". Essaie de saisir géométriquement l'évidence de cette équivalence.
L'espace (du lycée) est de dimension trois. On sent bien que pour être sûr de pouvoir exprimer n'importe quel vecteur comme combinaison linéraire d'une famiile fixée de vecteurs, il faut et il suffit que cette famille contienne trois vecteurs pas trop mal choisis. Mais que signifie "pas trop mal choisis" ? Mlaheureusement, la formulation rigoureuse de cette exigence n'est, me semble-t-il, intuitivement claire que si le cas du plan a été bien compris. Par analogie on aurait ainsi envie d'écrire que tout vecteur peut s'écrire comme combinaison linéaire des trois vecteurs v1,v2,v3 si et seulement si "a.v1+b.v2+c.v3=0 impl/ a=b=c=0"
Mais trève de baratin, sus aux escrocs, passons aux choses sérieuses.
La famille F=(v1,...,vn) est :
Libre si "a1.v1+...+an.vn=0 impl/ a1=...=an=0"
Liée sinon
Il est important de se convaincre que cela signifie qu'une famille libre est, en un sens, minimale : si notre famille est libre et si l'on choisit i quelconque entre 1 et n, alors on pourra trouver un vecteur w (pas nécessairement dans la famille) qui s'écrit comme combinaison linéaire des v1,...,vn, mais pas comme combinaison linéaire des v1,...,v(i-1),v(i+1),...,vn. (Preuve= exercice important).
Une autre définition importante est celle des familles génératices. La famille f=(v1,...,vn) est un ensemble de n vecteurs de l'espace vectoriel E. Le sous-esapce engendré par f est l'ensemble F=Vect(v1,...,vn) des vecteurs de E de la forme a1.v1+...+an.vn, où les a1...an sont des scalaires. On appelle F le sous-espace vectoriel engendré par f ; et on dit que f est une famille génératrice de E si E=F.
Enfin, une base de l'espace vectoriel E est une famille à la fois libre et génératrice de E .
Revenons maintenant à ton exercice. En prépa, il faut gagner du temps. Vu que ton espace vectoriel ressemble beaucoup à l'espace à trois dimensions, tu peux t'attendre à ce qu'une base de cet espace comporte trois vecteurs.
Notons v1=(1,-1,1) ; v2=(2,1,3); v3=(1,3,0) ; v4=(1, 5, -4), et cherchons à tout hasard une base à trois vecteurs de notre espace vectoriel.
Pour cela, montrons d'abord que (v1,v2,v3) est libre. Si a1.v1+a2.v2+a3.v3=0, la troisième coordonnée fournit a1+3a2=0, les premières et deuxièmescoordonnées fournissant respectivement
a1-2a1/3+a3=0
-a1-a1/3+3a3=0,
un système dont on voit rapidement que l'unique solution est a1=a3=0, donc a2=0. Notre famille est donc bien libre.
Si tu sais que ton espace est de dimension 3 et qu'une famille libre comportant 3 (resp. n) éléments engendre un espace de dimension 3 (resp. n), c'est gagné. Sinon, allons-y, et soit v=(x,y,z) un vecteur. Il nous faut prouver l'existence de a,b,c tels que
(x,y,z)=a.(1,-1,1)+b.(2,1,3)+c.(1,3,0),
ce qui se récrit
x=a+2b+c (1)
y=-a+b+3c (2)
z=a+3b (3)
Ce genre de système, il faut que tu saches les résoudre ou les faire résoudre par ta calculatrixe. Tu peux faire (2')<-(1)+(2) et (3')<-(2)+(3) pour te débarasser momentanément de a :
x=a+2b+c (1)
x+y= 3b+4c (2')
y+z=4b+3c (3')
Puis (2')+(3') et (2')-(3') donnent
x=a+2b+c (1)
(x+2y+z)/7=b+c (2'')
x-z=-b+c (3'')
De (2'')+(3'') et (2'')-(3''), on déduit facilement b et c, puis a grâce à 1. Si on a bien pris garde à ce que les systèmes d'équations successifs soient équivalents les uns aux autres, on a bien montré l'existence de a,b,c tels que (x,y,z)=a.(1,-1,1)+b.(2,1,3)+c.(1,3,0). Nos trois vecteurs sont donc à la fois libres et générateurs ->...
