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bonjour, je vais regarder l'exercice 2
1- en dérivant le fonction g sur l'ensemble des réels on a:
g′(x)=(2x+3)exg'(x)=(2x+3)e^xg′(x)=(2x+3)ex
ensuite vérifie que g′(x)−g(x)=2exg'(x)-g(x)=2e^xg′(x)−g(x)=2ex pour tout x∈rx\in\mathbb{r}x∈r
2- cette démonstration se fait en deux sens:
premier sens
supposons que f est solution de (E) c'est-à-dire que f′−f=2exf'-f=2e^xf′−f=2ex
montrons que f-g vérifie (E') c-à-d (f-g)'-(f-g)=0
(f−g)′−(f−g)=f′−g′−f+g=(f′−f)−(g′−g)(f-g)'-(f-g)=f'-g'-f+g=(f'-f)-(g'-g)(f−g)′−(f−g)=f′−g′−f+g=(f′−f)−(g′−g) en utilisant l'hypothèse et le résultat de la première question on a le résultat
Je te laisse le soin de démontrer le second sens à savoir si f-g est solution de (E') alors f est solution de (E)
3- d'après un résultat du cours, (E') conduit à y=λ⋅,exy=\lambda\cdot,e^xy=λ⋅,ex où λ\lambdaλ est une constante réelle
eh oui il faut continuer à apprendre
4. D'après ce qui précède, si (f-g) est une solution de (E') alors f=(f-g)+g est une solution de (E) et donc (E) a pour solution y=λ⋅,ex+(2x+1)ex,λ∈ry=\lambda\cdot,e^x+(2x+1)e^x,\quad \lambda\in\mathbb{r}y=λ⋅,ex+(2x+1)ex,λ∈r
du courage...
