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@azad-mohamed Bonsoir,
Pour montrer que la suite Un=∑k=0n1k!U_n = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{1}{k!}Un=∑k=0nk!1 est une suite de Cauchy, il faut prouver que pour tout ϵ>0\epsilon \gt 0ϵ>0, il existe un entier NNN tel que pour tout m,n≥Nm, n \geq Nm,n≥N, ∣Un−Um∣<ϵ|U_n - U_m| \lt \epsilon∣Un−Um∣<ϵ.
On suppose m>nm \gt nm>n. Alors,
Um−Un=∑k=n+1m1k!U_m - U_n = \sum_{k=n+1}^{m} \dfrac{1}{k!}Um−Un=∑k=n+1mk!1
il faut montrer que cette somme peut être rendue arbitrairement petite pour nnn suffisamment grand.
Pour cela, on peut estimer la somme ∑k=n+1m1k!\sum_{k=n+1}^{m} \dfrac{1}{k!}∑k=n+1mk!1 en utilisant le fait que les termes 1k!\dfrac{1}{k!}k!1 décroissent très rapidement. En particulier, pour k≥n+1k \geq n+1k≥n+1, :
1k!≤1(n+1)!\dfrac{1}{k!} \leq \dfrac{1}{(n+1)!}k!1≤(n+1)!1
Ainsi, si m≥n+1m \geq n+1m≥n+1, nous pouvons majorer la somme :
∑k=n+1m1k!≤∑k=n+1∞1k!\sum_{k=n+1}^{m} \dfrac{1}{k!} \leq \sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{1}{k!}∑k=n+1mk!1≤∑k=n+1∞k!1
Cette dernière somme est une série convergente. En effet, nous savons que :
∑k=0∞1k!=e\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} = e∑k=0∞k!1=e
et par conséquent,
∑k=n+1∞1k!→0quandn→∞\sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \to 0 \quad \text{quand} \quad n \to \infty∑k=n+1∞k!1→0quandn→∞.
Pour être plus précis, pour un ϵ>0\epsilon \gt 0ϵ>0, il existe un entier NNN tel que pour tout n≥Nn \geq Nn≥N,
∑k=n+1∞1k!<ϵ\sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \lt \epsilon∑k=n+1∞k!1<ϵ.
Ainsi, pour m,n≥Nm, n \geq Nm,n≥N, nous avons :
∣Um−Un∣=∑k=n+1m1k!≤∑k=n+1∞1k!<ϵ|U_m - U_n| = \sum_{k=n+1}^{m} \dfrac{1}{k!} \leq \sum_{k=n+1}^{\infty} \dfrac{1}{k!} \lt \epsilon∣Um−Un∣=∑k=n+1mk!1≤∑k=n+1∞k!1<ϵ.
Cela prouve que UnU_nUn est une suite de Cauchy. Par conséquent, la suite UnU_nUn converge.
