Piste pour le cas où Sara aurait fait une erreur de quantificateur
Rappel :
Quantificateur universel, noté ∀\forall∀, qui veut dire "Quel que soit", c'est à dire "Pour tout"
Quantificateur existentiel, noté ∃\exists ∃ qui veut dire "il existe au moins un"
Remarque : "il existe exactement un" se note ∃!\exists! ∃!
Si la question est celle indiquée dans ma réponse précédente, le théorème des valeurs intermédiaires convient parfaitement.
Pistes à expliciter
Soit g(x)=f(x)−xf(1x)g(x)=f(x)-xf(\frac{1}{x})g(x)=f(x)−xf(x1)
On justifie d'abord que g est continue sur [1a,a][ \frac{1}{a} , a][a1,a]
On calcule g(x) aux bornes de l'intervalle [1a,a][ \frac{1}{a} , a][a1,a]
g(a)=f(a)−af(1a)g(a)=f(a)-af(\frac{1}{a})g(a)=f(a)−af(a1)
g(1a)=f(1a)−1af(a)g(\frac{1}{a})= f(\frac{1}{a})-\frac{1}{a}f(a)g(a1)=f(a1)−a1f(a)
On transforme g(1a)g(\frac{1}{a})g(a1) pour le mettre en relation avec g(a)g(a)g(a)
g(1a)=−1a[f(a)−af(1a)]g(\frac{1}{a})=-\frac{1}{a}[f(a)-af(\frac{1}{a})]g(a1)=−a1[f(a)−af(a1)]
Donc $\fbox{g(\frac{1}{a})=-\frac{1}{a}g(a)}$
On déduit que g(ag(ag(a) et g(1a)g(\frac{1}{a})g(a1) sont de signes contraires
On utilise le TVI , pour g : il existe (au moins) une valeur c de [1a,a][ \frac{1}{a} , a][a1,a] telle que g(c)=0\fbox{g(c)=0}g(c)=0
On déduire l'égalité souhaitée $\fbox{f(c)=cf(\frac{1}{c})}$
Sara, si cet énoncé modifié est le bon, travaille tout cela de près.
Sinon, reposte.