Bonjour,
Je regarde un peu l'énoncé proposé et la discussion qui me laisse perplexe.
Il est demandé un raisonnement par l'absurde, en utilisant l'intervalle ouvert ]L- 1/4; L+1/4[
Voici une proposition alternative, en tenant compte de l'énoncé.
Piste à expliciter soigneusement (ce n'est qu'une piste)
Supposons que la suite (sin(n)) converge vers L
Par définition , cela veut dire que :
Pour tout ϵ≥0\epsilon \ge 0ϵ≥0, il existe N naturel tel que pour tout n>N,∣sin(n)−L∣<ϵn\gt N, |sin(n)-L| \lt \epsilonn>N,∣sin(n)−L∣<ϵ
En particulier , pour ϵ=14\epsilon=\frac{1}{4}ϵ=41
Il existe N naturel tel que pour tout $\fbox{n\gt N}$, ∣sin(n)−L∣<14|sin(n)-L| \lt \frac{1}{4}∣sin(n)−L∣<41, c'est à dire $\fbox{L-\frac{1}{4} \lt sin(n) \lt L+\frac{1}{4}}$
Prouvons que c'est impossible
L'intervalle ]L-1/4, L+1/4[ a une amplitude de 1/4-(-1/4)=1/2
L'intervalle relatif à ((sin(n)) a une amplitude de 1-(-1)=2
C'est là qu'on doit trouver une contradiction avec l'hypothèse de convergence vers L
Schéma :
La zone en rouge, pour n>N, est la bande comprise entre y=L-1/4 et y= L+1/4
Dans le schéma joint, pour n > N, tous les termes sin(n) ne sont pas tous dans cette zone.
Il y a des termes de la suite (sin(n)) qui sont supérieurs à L+1/4 et d'autres qui sont inférieurs à L-1/4, (par exemple, dans le schéma, sin(8), sin(11) ne sont pas dans la zone rouge ) d'où contradiction.
C'est l'idée, mais il faut voir les toutes situations (qui aboutissent à la même contradiction), suivant la position de la zone rouge par rapport à la bande comprise entre y=-1 et y=+1( où se situe sin(n)).
ça doit faire 5 situations .
Une réflexion personnelle :
J'ignore le degré d'exigence demandé par le professeur, mais je trouve cet énoncé, sans aucune piste de travail, bien difficile en lycée...
